解決-frac{(sqrt{2}-1)^2}{4sqrt{2}}+frac{(sqrt{5}+sqrt{3})^2}{sqrt{15}}+frac{(sqrt{2}+1)^2}{4sqrt{2}}-frac{(sqrt{5}-sqrt{3})^2}{sqrt{15}} |Microsoft數學求解器

$$- \frac { ( \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { 4 \sqrt { 2 } } + \frac { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } { \sqrt { 15 } } + \frac { ( \sqrt { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } { 4 \sqrt { 2 } } - \frac { ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } { \sqrt { 15 } }$$

評估

$$5$$

簡短的解題步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{2}-1\right)^{2}。

$$-\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\frac{2-2\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

將 2 與 1 相加可以得到 3。

$$-\frac{3-2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{2}，來有理化 \frac{3-2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} 的分母。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{4\times 2}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

將 4 乘上 2 得到 8。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

若要將 \sqrt{5} 和 \sqrt{3} 相乘，請將數位乘在平方根之下。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{5+2\sqrt{15}+3}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

將 5 與 3 相加可以得到 8。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{8+2\sqrt{15}}{\sqrt{15}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{15}，來有理化 \frac{8+2\sqrt{15}}{\sqrt{15}} 的分母。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{\left(\sqrt{15}\right)^{2}}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{15} 的平方是 15。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{2+2\sqrt{2}+1}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

將 2 與 1 相加可以得到 3。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{3+2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{2}，來有理化 \frac{3+2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} 的分母。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{4\times 2}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

將 4 乘上 2 得到 8。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

若要將 \sqrt{5} 和 \sqrt{3} 相乘，請將數位乘在平方根之下。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\sqrt{15}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{5-2\sqrt{15}+3}{\sqrt{15}}$$

將 5 與 3 相加可以得到 8。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{8-2\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{15}，來有理化 \frac{8-2\sqrt{15}}{\sqrt{15}} 的分母。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{\left(\sqrt{15}\right)^{2}}$$

\sqrt{15} 的平方是 15。

$$-\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}+\frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 8 和 15 的最小公倍式為 120。 -\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8} 乘上 \frac{15}{15}。 \frac{\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15} 乘上 \frac{8}{8}。

$$-\frac{15\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120}+\frac{8\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

因為 -\frac{15\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120} 和 \frac{8\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\frac{-15\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}+8\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

計算 -15\left(3-2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}+8\left(8+2\sqrt{15}\right)\sqrt{15} 的乘法。

$$\frac{-45\sqrt{2}+60+64\sqrt{15}+240}{120}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

計算 -45\sqrt{2}+60+64\sqrt{15}+240 。

$$\frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}}{120}+\frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 120 和 8 的最小公倍式為 120。 \frac{\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{8} 乘上 \frac{15}{15}。

$$\frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}}{120}+\frac{15\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

因為 \frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}}{120} 和 \frac{15\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}+15\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{120}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

計算 -45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}+15\left(3+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2} 的乘法。

$$\frac{-45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}+45\sqrt{2}+60}{120}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

計算 -45\sqrt{2}+300+64\sqrt{15}+45\sqrt{2}+60 。

$$\frac{360+64\sqrt{15}}{120}-\frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15}$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 120 和 15 的最小公倍式為 120。 \frac{\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{15} 乘上 \frac{8}{8}。

$$\frac{360+64\sqrt{15}}{120}-\frac{8\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120}$$

因為 \frac{360+64\sqrt{15}}{120} 和 \frac{8\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120} 的分母相同，所以將分子相減即可相減這兩個值。

$$\frac{360+64\sqrt{15}-8\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15}}{120}$$

計算 360+64\sqrt{15}-8\left(8-2\sqrt{15}\right)\sqrt{15} 的乘法。

$$\frac{360+64\sqrt{15}-64\sqrt{15}+240}{120}$$

計算 360+64\sqrt{15}-64\sqrt{15}+240 。

$$\frac{600}{120}$$

將 600 除以 120 以得到 5。

$$5$$

因式分解

$$5$$