解決(-y^2+3y+5=0) |Microsoft數學求解器

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

解 y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4.192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1.192582404$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-y^{2}+3y+5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 3 代入 b，以及將 5 代入 c。

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

對 3 平方。

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 5。

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

將 9 加到 20。

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}。 將 -3 加到 \sqrt{29}。

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

-3+\sqrt{29} 除以 -2。

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}。 從 -3 減去 \sqrt{29}。

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

-3-\sqrt{29} 除以 -2。

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-y^{2}+3y+5=0$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

從 5 減去本身會剩下 0。

$$-y^{2}+3y=-5$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

3 除以 -1。

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

-5 除以 -1。

$$y^{2}-3y=5$$

將 -3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{2}。接著，將 -\frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

將 5 加到 \frac{9}{4}。

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

因數分解 y^{2}-3y+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

化簡。

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$