解決(k+1/4)^2-1/16-1/5=0 |Microsoft數學求解器

$$( k + \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 16 } - \frac { 1 } { 5 } = 0$$

解 k

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx 0.262347538$$

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}\approx -0.762347538$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

從 \frac{1}{16} 減去 \frac{1}{16} 會得到 0。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 \frac{1}{2} 代入 b，以及將 -\frac{1}{5} 代入 c。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-\frac{1}{5}\right)}}{2}$$

-4 乘上 -\frac{1}{5}。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{5}}}{2}$$

將 \frac{1}{4} 與 \frac{4}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{21}{20}}}{2}$$

取 \frac{21}{20} 的平方根。

$$k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}。 將 -\frac{1}{2} 加到 \frac{\sqrt{105}}{10}。

$$k=\frac{\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{105}}{10} 除以 2。

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 k=\frac{-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{105}}{10}}{2}。 從 -\frac{1}{2} 減去 \frac{\sqrt{105}}{10}。

$$k=\frac{-\frac{\sqrt{105}}{10}-\frac{1}{2}}{2}$$

-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{105}}{10} 除以 2。

$$k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}-\frac{1}{5}=0$$

從 \frac{1}{16} 減去 \frac{1}{16} 會得到 0。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k-\frac{1}{5}=0$$

新增 \frac{1}{5} 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k=\frac{1}{5}$$

將 \frac{1}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{4}。接著，將 \frac{1}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{1}{5}+\frac{1}{16}$$

將 \frac{1}{5} 與 \frac{1}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}=\frac{21}{80}$$

因數分解 k^{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{80}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{80}}$$

化簡。

$$k+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{105}}{20} k+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{20}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{4}。

$$k=\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4} k=-\frac{\sqrt{105}}{20}-\frac{1}{4}$$