解決(ax-by)+(a+4b)=0,2(bx+ay)+(b-4a)=0 |Microsoft數學求解器

$$( a x - b y ) + ( a + 4 b ) = 0,2 ( b x + a y ) + ( b - 4 a ) = 0$$

解 x、y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\text{, }y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ or }a\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }b=0\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 a。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$ax-by+4b=-a$$

從兩邊減去 4b。

$$ax-by=-a-4b$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 bx+ay 時使用乘法分配律。

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

從兩邊減去 b。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2bx+2ay-4a=-b$$

新增 4a 至兩側。

$$2bx+2ay=-b+4a$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b$$

將 by 加到方程式的兩邊。

$$ax=by-a-4b$$

將兩邊同時除以 a。

$$x=\frac{1}{a}\left(by-a-4b\right)$$

\frac{1}{a} 乘上 by-a-4b。

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1$$

在另一個方程式 2bx+2ay=4a-b 中以 \frac{-4b+by-a}{a} 代入 x在方程式。

$$2b\left(\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1\right)+2ay=4a-b$$

2b 乘上 \frac{-4b+by-a}{a}。

$$\frac{2b^{2}}{a}y-\frac{8b^{2}}{a}-2b+2ay=4a-b$$

將 \frac{2b^{2}y}{a} 加到 2ay。

$$\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}y-\frac{8b^{2}}{a}-2b=4a-b$$

從方程式兩邊減去 -\frac{8b^{2}}{a}-2b。

$$\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}y=\frac{8b^{2}}{a}+b+4a$$

將兩邊同時除以 \frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}。

$$y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

在 x=\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1 中以 \frac{8b^{2}+ba+4a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{4b}{a}-1$$

\frac{b}{a} 乘上 \frac{8b^{2}+ba+4a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}。

$$x=\frac{b\left(4a^{2}+ab+8b^{2}\right)}{2a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{4b}{a}-1$$

將 -1-\frac{4b}{a} 加到 \frac{b\left(8b^{2}+ba+4a^{2}\right)}{2a\left(a^{2}+b^{2}\right)}。

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 a。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$ax-by+4b=-a$$

從兩邊減去 4b。

$$ax-by=-a-4b$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 bx+ay 時使用乘法分配律。

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

從兩邊減去 b。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2bx+2ay-4a=-b$$

新增 4a 至兩側。

$$2bx+2ay=-b+4a$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2a}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}&-\frac{-b}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}\\-\frac{2b}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}&\frac{a}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-a-4b\right)+\frac{b}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\left(4a-b\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-a-4b\right)+\frac{a}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\left(4a-b\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\\\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 a。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$ax-by+4b=-a$$

從兩邊減去 4b。

$$ax-by=-a-4b$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 bx+ay 時使用乘法分配律。

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

從兩邊減去 b。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2bx+2ay-4a=-b$$

新增 4a 至兩側。

$$2bx+2ay=-b+4a$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

讓 ax 和 2bx 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2b，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 a。

$$2bax+2b\left(-b\right)y=2b\left(-a-4b\right),a\times 2bx+a\times 2ay=a\left(4a-b\right)$$

化簡。

$$2abx+\left(-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right),2abx+2a^{2}y=a\left(4a-b\right)$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2abx+\left(-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right) 減去 2abx+2a^{2}y=a\left(4a-b\right)。

$$2abx+\left(-2ab\right)x+\left(-2b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

將 2bax 加到 -2bax。 2bax 和 -2bax 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-2b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

將 -2b^{2}y 加到 -2a^{2}y。

$$\left(-2a^{2}-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

將 -2b\left(a+4b\right) 加到 ab-4a^{2}。

$$\left(-2a^{2}-2b^{2}\right)y=-4a^{2}-ab-8b^{2}$$

將兩邊同時除以 -2b^{2}-2a^{2}。

$$y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

在 2bx+2ay=4a-b 中以 \frac{8b^{2}+ab+4a^{2}}{2\left(b^{2}+a^{2}\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2bx+2a\times \frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}=4a-b$$

2a 乘上 \frac{8b^{2}+ab+4a^{2}}{2\left(b^{2}+a^{2}\right)}。

$$2bx+\frac{a\left(4a^{2}+ab+8b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}=4a-b$$

從方程式兩邊減去 \frac{a\left(8b^{2}+ab+4a^{2}\right)}{b^{2}+a^{2}}。

$$2bx=-\frac{b\left(2a^{2}+4ab+b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

將兩邊同時除以 2b。

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$