Solve (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0.266666667+0.249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0.266666667-0.249443826i$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(4x-1\right)^{2}。

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

請考慮 \left(x-1\right)\left(x+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 對 1 平方。

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

合併 16x^{2} 和 -x^{2} 以取得 15x^{2}。

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

新增 1 至兩側。

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

將 1 與 1 相加可以得到 2。

$$15x^{2}-8x+2=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 15 代入 a，將 -8 代入 b，以及將 2 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

對 -8 平方。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 乘上 15。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

將 64 加到 -120。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

取 -56 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

-8 的相反數是 8。

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

2 乘上 15。

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}。 將 8 加到 2i\sqrt{14}。

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

8+2i\sqrt{14} 除以 30。

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}。 從 8 減去 2i\sqrt{14}。

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

8-2i\sqrt{14} 除以 30。

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(4x-1\right)^{2}。

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

請考慮 \left(x-1\right)\left(x+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。 對 1 平方。

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

合併 16x^{2} 和 -x^{2} 以取得 15x^{2}。

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

從兩邊減去 1。

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

從 -1 減去 1 會得到 -2。

$$15x^{2}-8x=-2$$

將兩邊同時除以 15。

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

除以 15 可以取消乘以 15 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

將 -\frac{8}{15} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{4}{15}。接著，將 -\frac{4}{15} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

-\frac{4}{15} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

將 -\frac{2}{15} 與 \frac{16}{225} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

因數分解 x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

化簡。

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

將 \frac{4}{15} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$