解決(4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156 |Microsoft數學求解器

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

解 x

$$x=-18$$

$$x=6$$

使用依分組因數分解的步驟

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}。

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

將 16 乘上 3 得到 48。

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

在 8 和 2 中同時消去最大公因數 2。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

若要將 \frac{x\sqrt{3}}{2} 乘冪，將分子和分母同時自乘該乘冪的次數然後再相除。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 48 乘上 \frac{2^{2}}{2^{2}}。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

因為 \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 和 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

計算 4 乘上 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} 時使用乘法分配律。

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

將 48 乘上 4 得到 192。

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

展開 \left(x\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

運算式 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} 為最簡分數。

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

同時消去 4 和 4。

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

將 16 乘上 3 得到 48。

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

合併 x^{2}\times 3 和 x^{2} 以取得 4x^{2}。

$$192+4x^{2}+48x=624$$

從兩邊減去 624。

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

從 192 減去 624 會得到 -432。

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

將兩邊同時除以 4。

$$-108+x^{2}+12x=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$x^{2}+12x-108=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-108。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -108 的所有此類整數組合。

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

計算每個組合的總和。

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

該解的總和為 12。

$$a=-6 b=18$$

將 x^{2}+12x-108 重寫為 \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)。

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 18。

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-6=0 並 x+18=0。

$$x=6 x=-18$$

使用二次方程式公式的步驟

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}。

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

將 16 乘上 3 得到 48。

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

在 8 和 2 中同時消去最大公因數 2。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

若要將 \frac{x\sqrt{3}}{2} 乘冪，將分子和分母同時自乘該乘冪的次數然後再相除。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 48 乘上 \frac{2^{2}}{2^{2}}。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

因為 \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 和 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

計算 4 乘上 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} 時使用乘法分配律。

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

將 48 乘上 4 得到 192。

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

展開 \left(x\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

運算式 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} 為最簡分數。

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

同時消去 4 和 4。

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

將 16 乘上 3 得到 48。

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

合併 x^{2}\times 3 和 x^{2} 以取得 4x^{2}。

$$192+4x^{2}+48x=624$$

從兩邊減去 624。

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

從 192 減去 624 會得到 -432。

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$4x^{2}+48x-432=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 4 代入 a，將 48 代入 b，以及將 -432 代入 c。

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

對 48 平方。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

-4 乘上 4。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

-16 乘上 -432。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

將 2304 加到 6912。

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

取 9216 的平方根。

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

2 乘上 4。

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-48±96}{8}。 將 -48 加到 96。

$$x=\frac{48}{8}$$

48 除以 8。

$$x=6$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-48±96}{8}。 從 -48 減去 96。

$$x=-\frac{144}{8}$$

-144 除以 8。

$$x=-18$$

現已成功解出方程式。

$$x=6 x=-18$$

配方法的步驟

對方程式兩邊同時乘上 4。

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}。

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

將 16 乘上 3 得到 48。

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

在 8 和 2 中同時消去最大公因數 2。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

若要將 \frac{x\sqrt{3}}{2} 乘冪，將分子和分母同時自乘該乘冪的次數然後再相除。

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 48 乘上 \frac{2^{2}}{2^{2}}。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

因為 \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} 和 \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

計算 4 乘上 \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} 時使用乘法分配律。

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

將 48 乘上 4 得到 192。

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

展開 \left(x\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

運算式 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} 為最簡分數。

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

同時消去 4 和 4。

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

將 16 乘上 3 得到 48。

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

合併 x^{2}\times 3 和 x^{2} 以取得 4x^{2}。

$$192+4x^{2}+48x=624$$

從兩邊減去 192。

$$4x^{2}+48x=624-192$$

從 624 減去 192 會得到 432。

$$4x^{2}+48x=432$$

將兩邊同時除以 4。

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

除以 4 可以取消乘以 4 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

48 除以 4。

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

432 除以 4。

$$x^{2}+12x=108$$

將 12 (x 項的係數) 除以 2 可得到 6。接著，將 6 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

對 6 平方。

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

將 108 加到 36。

$$x^{2}+12x+36=144$$

因數分解 x^{2}+12x+36。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

化簡。

$$x+6=12 x+6=-12$$

從方程式兩邊減去 6。

$$x=6 x=-18$$