解決(3+r)^2+(15+r)^2=18^2 |Microsoft數學求解器

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

解 r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2.22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20.22497216$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(3+r\right)^{2}。

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(15+r\right)^{2}。

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

將 9 與 225 相加可以得到 234。

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

合併 6r 和 30r 以取得 36r。

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

合併 r^{2} 和 r^{2} 以取得 2r^{2}。

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

計算 18 的 2 乘冪，然後得到 324。

$$234+36r+2r^{2}=324$$

從兩邊減去 324。

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

從 234 減去 324 會得到 -90。

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2r^{2}+36r-90=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 36 代入 b，以及將 -90 代入 c。

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

對 36 平方。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -90。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

將 1296 加到 720。

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

取 2016 的平方根。

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}。 將 -36 加到 12\sqrt{14}。

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36+12\sqrt{14} 除以 4。

$$r=3\sqrt{14}-9$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}。 從 -36 減去 12\sqrt{14}。

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36-12\sqrt{14} 除以 4。

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

現已成功解出方程式。

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(3+r\right)^{2}。

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(15+r\right)^{2}。

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

將 9 與 225 相加可以得到 234。

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

合併 6r 和 30r 以取得 36r。

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

合併 r^{2} 和 r^{2} 以取得 2r^{2}。

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

計算 18 的 2 乘冪，然後得到 324。

$$234+36r+2r^{2}=324$$

從兩邊減去 234。

$$36r+2r^{2}=324-234$$

從 324 減去 234 會得到 90。

$$36r+2r^{2}=90$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2r^{2}+36r=90$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

36 除以 2。

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

90 除以 2。

$$r^{2}+18r=45$$

將 18 (x 項的係數) 除以 2 可得到 9。接著，將 9 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

對 9 平方。

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

將 45 加到 81。

$$r^{2}+18r+81=126$$

因數分解 r^{2}+18r+81。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

化簡。

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

從方程式兩邊減去 9。

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$