解決(23-x)^2+x^2=17^2 |Microsoft數學求解器

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

解 x

$$x=8$$

$$x=15$$

使用依分組因數分解的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(23-x\right)^{2}。

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

合併 x^{2} 和 x^{2} 以取得 2x^{2}。

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

計算 17 的 2 乘冪，然後得到 289。

$$529-46x+2x^{2}=289$$

從兩邊減去 289。

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

從 529 減去 289 會得到 240。

$$240-46x+2x^{2}=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$120-23x+x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$x^{2}-23x+120=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx+120。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 120 的所有此類整數組合。

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

計算每個組合的總和。

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

該解的總和為 -23。

$$a=-15 b=-8$$

將 x^{2}-23x+120 重寫為 \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)。

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 -8。

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-15。

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-15=0 並 x-8=0。

$$x=15 x=8$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(23-x\right)^{2}。

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

合併 x^{2} 和 x^{2} 以取得 2x^{2}。

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

計算 17 的 2 乘冪，然後得到 289。

$$529-46x+2x^{2}=289$$

從兩邊減去 289。

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

從 529 減去 289 會得到 240。

$$240-46x+2x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}-46x+240=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -46 代入 b，以及將 240 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

對 -46 平方。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

-8 乘上 240。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

將 2116 加到 -1920。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

取 196 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46 的相反數是 46。

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{46±14}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{46±14}{4}。 將 46 加到 14。

$$x=\frac{60}{4}$$

60 除以 4。

$$x=15$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{46±14}{4}。 從 46 減去 14。

$$x=\frac{32}{4}$$

32 除以 4。

$$x=8$$

現已成功解出方程式。

$$x=15 x=8$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(23-x\right)^{2}。

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

合併 x^{2} 和 x^{2} 以取得 2x^{2}。

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

計算 17 的 2 乘冪，然後得到 289。

$$529-46x+2x^{2}=289$$

從兩邊減去 529。

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

從 289 減去 529 會得到 -240。

$$-46x+2x^{2}=-240$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}-46x=-240$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

-46 除以 2。

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

-240 除以 2。

$$x^{2}-23x=-120$$

將 -23 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{23}{2}。接著，將 -\frac{23}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

-\frac{23}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

將 -120 加到 \frac{529}{4}。

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

因數分解 x^{2}-23x+\frac{529}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

將 \frac{23}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=15 x=8$$