解決(2x-3)^2-(x+5)^2=-23 |Microsoft數學求解器

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

解 x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

使用依分組因數分解的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(2x-3\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+5\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

若要尋找 x^{2}+10x+25 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

合併 4x^{2} 和 -x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

合併 -12x 和 -10x 以取得 -22x。

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

從 9 減去 25 會得到 -16。

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

新增 23 至兩側。

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

將 -16 與 23 相加可以得到 7。

$$3x^{2}-22x+7=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx+7。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 21 的所有此類整數組合。

$$-1,-21 -3,-7$$

計算每個組合的總和。

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

該解的總和為 -22。

$$a=-21 b=-1$$

將 3x^{2}-22x+7 重寫為 \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)。

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

在第一個組因式分解是 3x，且第二個組是 -1。

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-7。

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-7=0 並 3x-1=0。

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(2x-3\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+5\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

若要尋找 x^{2}+10x+25 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

合併 4x^{2} 和 -x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

合併 -12x 和 -10x 以取得 -22x。

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

從 9 減去 25 會得到 -16。

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

新增 23 至兩側。

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

將 -16 與 23 相加可以得到 7。

$$3x^{2}-22x+7=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 -22 代入 b，以及將 7 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

對 -22 平方。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

-12 乘上 7。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

將 484 加到 -84。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

取 400 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22 的相反數是 22。

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{22±20}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{22±20}{6}。 將 22 加到 20。

$$x=\frac{42}{6}$$

42 除以 6。

$$x=7$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{22±20}{6}。 從 22 減去 20。

$$x=\frac{2}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{6} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(2x-3\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+5\right)^{2}。

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

若要尋找 x^{2}+10x+25 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

合併 4x^{2} 和 -x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

合併 -12x 和 -10x 以取得 -22x。

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

從 9 減去 25 會得到 -16。

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

新增 16 至兩側。

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

將 -23 與 16 相加可以得到 -7。

$$3x^{2}-22x=-7$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

將 -\frac{22}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{11}{3}。接著，將 -\frac{11}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

-\frac{11}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

將 -\frac{7}{3} 與 \frac{121}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

因數分解 x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

化簡。

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

將 \frac{11}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$