解決(2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205 |Microsoft數學求解器

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+4\right)^{2}。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(3x-2\right)^{2}。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

若要尋找 9x^{2}-12x+4 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

合併 -9x^{2} 和 -40x^{2} 以取得 -49x^{2}。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

新增 205 至兩側。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

將 -4 與 205 相加可以得到 201。

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

計算 -5x 乘上 7-3x 時使用乘法分配律。

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

計算 -35x+15x^{2} 乘上 7+3x 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

合併 16x 和 -245x 以取得 -229x。

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

合併 4x^{2} 和 -49x^{2} 以取得 -45x^{2}。

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

合併 -229x 和 12x 以取得 -217x。

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

將 16 與 201 相加可以得到 217。

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

重新排列方程式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 217，而 q 除以前置係數 45。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=1$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 除以 x-1 以得到 45x^{2}-217。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$45x^{2}-217=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 45 取代 a、以 0 取代 b 並以 -217 取 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

計算。

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 45x^{2}-217=0。

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

列出所有找到的解決方案。

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$