解決(2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16) |Microsoft數學求解器

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

解 x

$$x=-7$$

$$x=4$$

使用依分組因數分解的步驟

計算 2x+3 乘上 x^{2}-16 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 x-4 乘上 x+40 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

合併 3x^{2} 和 x^{2} 以取得 4x^{2}。

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

合併 -32x 和 36x 以取得 4x。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

從 -48 減去 160 會得到 -208。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 2 乘上 x-4 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 2x-8 乘上 x^{2}-16 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

從兩邊減去 2x^{3}。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

合併 2x^{3} 和 -2x^{3} 以取得 0。

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

新增 32x 至兩側。

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

合併 4x 和 32x 以取得 36x。

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

新增 8x^{2} 至兩側。

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

合併 4x^{2} 和 8x^{2} 以取得 12x^{2}。

$$36x+12x^{2}-208=128$$

從兩邊減去 128。

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

從 -208 減去 128 會得到 -336。

$$36x+12x^{2}-336=0$$

將兩邊同時除以 12。

$$3x+x^{2}-28=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$x^{2}+3x-28=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-28。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -28 的所有此類整數組合。

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

計算每個組合的總和。

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

該解的總和為 3。

$$a=-4 b=7$$

將 x^{2}+3x-28 重寫為 \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)。

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 7。

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-4。

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-4=0 並 x+7=0。

$$x=4 x=-7$$

使用二次方程式公式的步驟

計算 2x+3 乘上 x^{2}-16 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 x-4 乘上 x+40 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

合併 3x^{2} 和 x^{2} 以取得 4x^{2}。

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

合併 -32x 和 36x 以取得 4x。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

從 -48 減去 160 會得到 -208。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 2 乘上 x-4 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 2x-8 乘上 x^{2}-16 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

從兩邊減去 2x^{3}。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

合併 2x^{3} 和 -2x^{3} 以取得 0。

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

新增 32x 至兩側。

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

合併 4x 和 32x 以取得 36x。

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

新增 8x^{2} 至兩側。

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

合併 4x^{2} 和 8x^{2} 以取得 12x^{2}。

$$36x+12x^{2}-208=128$$

從兩邊減去 128。

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

從 -208 減去 128 會得到 -336。

$$36x+12x^{2}-336=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$12x^{2}+36x-336=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 12 代入 a，將 36 代入 b，以及將 -336 代入 c。

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

對 36 平方。

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-4 乘上 12。

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-48 乘上 -336。

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

將 1296 加到 16128。

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

取 17424 的平方根。

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

2 乘上 12。

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-36±132}{24}。 將 -36 加到 132。

$$x=\frac{96}{24}$$

96 除以 24。

$$x=4$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-36±132}{24}。 從 -36 減去 132。

$$x=-\frac{168}{24}$$

-168 除以 24。

$$x=-7$$

現已成功解出方程式。

$$x=4 x=-7$$

配方法的步驟

計算 2x+3 乘上 x^{2}-16 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 x-4 乘上 x+40 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

合併 3x^{2} 和 x^{2} 以取得 4x^{2}。

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

合併 -32x 和 36x 以取得 4x。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

從 -48 減去 160 會得到 -208。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 2 乘上 x-4 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

計算 2x-8 乘上 x^{2}-16 時使用乘法分配律。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

從兩邊減去 2x^{3}。

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

合併 2x^{3} 和 -2x^{3} 以取得 0。

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

新增 32x 至兩側。

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

合併 4x 和 32x 以取得 36x。

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

新增 8x^{2} 至兩側。

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

合併 4x^{2} 和 8x^{2} 以取得 12x^{2}。

$$36x+12x^{2}-208=128$$

新增 208 至兩側。

$$36x+12x^{2}=128+208$$

將 128 與 208 相加可以得到 336。

$$36x+12x^{2}=336$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$12x^{2}+36x=336$$

將兩邊同時除以 12。

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

除以 12 可以取消乘以 12 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

36 除以 12。

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

336 除以 12。

$$x^{2}+3x=28$$

將 3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{2}。接著，將 \frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

將 28 加到 \frac{9}{4}。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

因數分解 x^{2}+3x+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

化簡。

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$x=4 x=-7$$