解決(2+sqrt{3})^2-frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}-sqrt{2}} |Microsoft數學求解器

$$( 2 + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } }$$

評估

$$4\sqrt{3}+2-2\sqrt{6}\approx 4.029223745$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

將 4 與 3 相加可以得到 7。

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{3}+\sqrt{2}，來有理化 \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} 的分母。

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}$$

請考慮 \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

對 \sqrt{3} 平方。 對 \sqrt{2} 平方。

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{3-2}$$

從 3 減去 2 會得到 1。

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{1}$$

任何項目除以一結果都為其本身。

$$7+4\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$$

將 \sqrt{3}+\sqrt{2} 乘上 \sqrt{3}+\sqrt{2} 得到 \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$7+4\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}。

$$7+4\sqrt{3}-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

若要將 \sqrt{3} 和 \sqrt{2} 相乘，請將數位乘在平方根之下。

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{6}+2\right)$$

將 3 與 2 相加可以得到 5。

$$7+4\sqrt{3}-\left(5+2\sqrt{6}\right)$$

若要尋找 5+2\sqrt{6} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$7+4\sqrt{3}-5-2\sqrt{6}$$

從 7 減去 5 會得到 2。

$$2+4\sqrt{3}-2\sqrt{6}$$