解決(100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2 |Microsoft數學求解器

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

解 x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33.333333333$$

$$x=-100$$

使用依分組因數分解的步驟

計算 100 的 2 乘冪，然後得到 10000。

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+100\right)^{2}。

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

將 10000 與 10000 相加可以得到 20000。

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+100\right)^{2}。

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

從兩邊減去 4x^{2}。

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

合併 x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 -3x^{2}。

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

從兩邊減去 400x。

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

合併 200x 和 -400x 以取得 -200x。

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

從兩邊減去 10000。

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

從 20000 減去 10000 會得到 10000。

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -3x^{2}+ax+bx+10000。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -30000 的所有此類整數組合。

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

計算每個組合的總和。

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

該解的總和為 -200。

$$a=100 b=-300$$

將 -3x^{2}-200x+10000 重寫為 \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)。

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

在第一個組因式分解是 -x，且第二個組是 -100。

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3x-100。

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 3x-100=0 並 -x-100=0。

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

使用二次方程式公式的步驟

計算 100 的 2 乘冪，然後得到 10000。

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+100\right)^{2}。

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

將 10000 與 10000 相加可以得到 20000。

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+100\right)^{2}。

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

從兩邊減去 4x^{2}。

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

合併 x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 -3x^{2}。

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

從兩邊減去 400x。

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

合併 200x 和 -400x 以取得 -200x。

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

從兩邊減去 10000。

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

從 20000 減去 10000 會得到 10000。

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -3 代入 a，將 -200 代入 b，以及將 10000 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

對 -200 平方。

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-4 乘上 -3。

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

12 乘上 10000。

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

將 40000 加到 120000。

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

取 160000 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

-200 的相反數是 200。

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

2 乘上 -3。

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{200±400}{-6}。 將 200 加到 400。

$$x=\frac{600}{-6}$$

600 除以 -6。

$$x=-100$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{200±400}{-6}。 從 200 減去 400。

$$x=-\frac{200}{-6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-200}{-6} 約分至最低項。

$$x=\frac{100}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

配方法的步驟

計算 100 的 2 乘冪，然後得到 10000。

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+100\right)^{2}。

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

將 10000 與 10000 相加可以得到 20000。

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+100\right)^{2}。

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

從兩邊減去 4x^{2}。

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

合併 x^{2} 和 -4x^{2} 以取得 -3x^{2}。

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

從兩邊減去 400x。

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

合併 200x 和 -400x 以取得 -200x。

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

從兩邊減去 20000。

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

從 10000 減去 20000 會得到 -10000。

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

將兩邊同時除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

除以 -3 可以取消乘以 -3 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

-200 除以 -3。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

-10000 除以 -3。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

將 \frac{200}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{100}{3}。接著，將 \frac{100}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

\frac{100}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

將 \frac{10000}{3} 與 \frac{10000}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

因數分解 x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

化簡。

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

從方程式兩邊減去 \frac{100}{3}。

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$