解決(-x+7)(sqrt{x^2+2x+5})=(x+1)(sqrt{x^2-14x+65}) |Microsoft數學求解器

$$( - x + 7 ) ( \sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 5 } ) = ( x + 1 ) ( \sqrt { x ^ { 2 } - 14 x + 65 } )$$

解 x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 -x+7 乘上 \sqrt{x^{2}+2x+5} 時使用乘法分配律。

$$\left(\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}+7\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}+7\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}。

$$\left(-x\right)^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}\sqrt{x^{2}+2x+5}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

將 \sqrt{x^{2}+2x+5} 乘上 \sqrt{x^{2}+2x+5} 得到 \left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}。

$$\left(-x\right)^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 -x 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}。

$$x^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}+2x+5} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}+2x+5。

$$x^{2}\left(x^{2}+2x+5\right)+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 x^{2} 乘上 x^{2}+2x+5 時使用乘法分配律。

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}+2x+5} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}+2x+5。

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)\left(x^{2}+2x+5\right)+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 14\left(-x\right) 乘上 x^{2}+2x+5 時使用乘法分配律。

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}+2x+5} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}+2x+5。

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49\left(x^{2}+2x+5\right)=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 49 乘上 x^{2}+2x+5 時使用乘法分配律。

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49x^{2}+98x+245=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

合併 5x^{2} 和 49x^{2} 以取得 54x^{2}。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 x+1 乘上 \sqrt{x^{2}-14x+65} 時使用乘法分配律。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=\left(x\sqrt{x^{2}-14x+65}+\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x\sqrt{x^{2}-14x+65}+\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+2x\sqrt{x^{2}-14x+65}\sqrt{x^{2}-14x+65}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

將 \sqrt{x^{2}-14x+65} 乘上 \sqrt{x^{2}-14x+65} 得到 \left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}-14x+65} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}-14x+65。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(x^{2}-14x+65\right)+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 x^{2} 乘上 x^{2}-14x+65 時使用乘法分配律。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}-14x+65} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}-14x+65。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x\left(x^{2}-14x+65\right)+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 2x 乘上 x^{2}-14x+65 時使用乘法分配律。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x^{3}-28x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

合併 -14x^{3} 和 2x^{3} 以取得 -12x^{3}。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+65x^{2}-28x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

合併 65x^{2} 和 -28x^{2} 以取得 37x^{2}。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+37x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}-14x+65} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}-14x+65。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+37x^{2}+130x+x^{2}-14x+65$$

合併 37x^{2} 和 x^{2} 以取得 38x^{2}。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+38x^{2}+130x-14x+65$$

合併 130x 和 -14x 以取得 116x。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

從兩邊減去 x^{4}。

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-x^{4}=-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

合併 x^{4} 和 -x^{4} 以取得 0。

$$2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

新增 12x^{3} 至兩側。

$$2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245+12x^{3}=38x^{2}+116x+65$$

合併 2x^{3} 和 12x^{3} 以取得 14x^{3}。

$$14x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=38x^{2}+116x+65$$

從兩邊減去 38x^{2}。

$$14x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-38x^{2}=116x+65$$

合併 54x^{2} 和 -38x^{2} 以取得 16x^{2}。

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=116x+65$$

從兩邊減去 116x。

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-116x=65$$

合併 98x 和 -116x 以取得 -18x。

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+245=65$$

從兩邊減去 65。

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+245-65=0$$

從 245 減去 65 會得到 180。

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+180=0$$

計算有相同底數之乘冪數相乘的方法: 將指數相加。1 加 2 得到 3。

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-1\right)x^{3}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

將 14 乘上 -1 得到 -14。

$$14x^{3}+16x^{2}-14x^{3}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

合併 14x^{3} 和 -14x^{3} 以取得 0。

$$16x^{2}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

將 x 乘上 x 得到 x^{2}。

$$16x^{2}+28\left(-1\right)x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

將 28 乘上 -1 得到 -28。

$$16x^{2}-28x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

合併 16x^{2} 和 -28x^{2} 以取得 -12x^{2}。

$$-12x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

將 70 乘上 -1 得到 -70。

$$-12x^{2}-70x-18x+180=0$$

合併 -70x 和 -18x 以取得 -88x。

$$-12x^{2}-88x+180=0$$

將兩邊同時除以 4。

$$-3x^{2}-22x+45=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -3x^{2}+ax+bx+45。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-22 ab=-3\times 45=-135$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -135 的所有此類整數組合。

$$1,-135 3,-45 5,-27 9,-15$$

計算每個組合的總和。

$$1-135=-134 3-45=-42 5-27=-22 9-15=-6$$

該解的總和為 -22。

$$a=5 b=-27$$

將 -3x^{2}-22x+45 重寫為 \left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-27x+45\right)。

$$\left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-27x+45\right)$$

在第一個組因式分解是 -x，且第二個組是 -9。

$$-x\left(3x-5\right)-9\left(3x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3x-5。

$$\left(3x-5\right)\left(-x-9\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 3x-5=0 並 -x-9=0。

$$x=\frac{5}{3} x=-9$$

在方程式 \left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65} 中以 \frac{5}{3} 代入 x。

$$\left(-\frac{5}{3}+7\right)\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}+2\times \frac{5}{3}+5}=\left(\frac{5}{3}+1\right)\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-14\times \frac{5}{3}+65}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=\frac{5}{3}。

$$\frac{160}{9}=\frac{160}{9}$$

在方程式 \left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65} 中以 -9 代入 x。

$$\left(-\left(-9\right)+7\right)\sqrt{\left(-9\right)^{2}+2\left(-9\right)+5}=\left(-9+1\right)\sqrt{\left(-9\right)^{2}-14\left(-9\right)+65}$$

化簡。 x=-9 這個值無法滿足方程式，因為左右側有相反的符號。

$$32\times 17^{\frac{1}{2}}=-32\times 17^{\frac{1}{2}}$$

方程式 \left(7-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65} 有獨特的解。

$$x=\frac{5}{3}$$