Solve (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

解 x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5.854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0.854101966$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}-5x+3=8$$

從方程式兩邊減去 8。

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

從 8 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

從 3 減去 8。

$$x^{2}-5x-5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -5 代入 b，以及將 -5 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

對 -5 平方。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

-4 乘上 -5。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

將 25 加到 20。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

取 45 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

-5 的相反數是 5。

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}。 將 5 加到 3\sqrt{5}。

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}。 從 5 減去 3\sqrt{5}。

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}-5x+3=8$$

從方程式兩邊減去 3。

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

從 3 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}-5x=8-3$$

從 8 減去 3。

$$x^{2}-5x=5$$

將 -5 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{2}。接著，將 -\frac{5}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

將 5 加到 \frac{25}{4}。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

因數分解 x^{2}-5x+\frac{25}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

將 \frac{5}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$