解決(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1})^2 |Microsoft數學求解器

$$( \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { \sqrt { 3 } - 1 } ) ^ { 2 }$$

評估

$$4\sqrt{3}+7\approx 13.92820323$$

解題步驟

將分子和分母同時乘以 \sqrt{3}+1，來有理化 \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} 的分母。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

請考慮 \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

對 \sqrt{3} 平方。 對 1 平方。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

從 3 減去 1 會得到 2。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

將 \sqrt{3}+1 乘上 \sqrt{3}+1 得到 \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

將 3 與 1 相加可以得到 4。

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

將 4+2\sqrt{3} 的每一項除以 2 以得到 2+\sqrt{3}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3$$

將 4 與 3 相加可以得到 7。

$$7+4\sqrt{3}$$

展開

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13.92820323$$

解題步驟

將分子和分母同時乘以 \sqrt{3}+1，來有理化 \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} 的分母。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

請考慮 \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

對 \sqrt{3} 平方。 對 1 平方。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

從 3 減去 1 會得到 2。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

將 \sqrt{3}+1 乘上 \sqrt{3}+1 得到 \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}。

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

將 3 與 1 相加可以得到 4。

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

將 4+2\sqrt{3} 的每一項除以 2 以得到 2+\sqrt{3}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3$$

將 4 與 3 相加可以得到 7。

$$7+4\sqrt{3}$$