解決y^2-15y=-54 |Microsoft數學求解器

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

解 y

$$y=6$$

$$y=9$$

使用因數分解的步驟

新增 54 至兩側。

$$y^{2}-15y+54=0$$

若要解出方程式，請使用公式 y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) y^{2}-15y+54。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-15 ab=54$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 54 的所有此類整數組合。

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

計算每個組合的總和。

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

該解的總和為 -15。

$$a=-9 b=-6$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(y+a\right)\left(y+b\right)。

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 y-9=0 並 y-6=0。

$$y=9 y=6$$

使用依分組因數分解的步驟

新增 54 至兩側。

$$y^{2}-15y+54=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 y^{2}+ay+by+54。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 54 的所有此類整數組合。

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

計算每個組合的總和。

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

該解的總和為 -15。

$$a=-9 b=-6$$

將 y^{2}-15y+54 重寫為 \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)。

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

在第一個組因式分解是 y，且第二個組是 -6。

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 y-9。

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 y-9=0 並 y-6=0。

$$y=9 y=6$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$y^{2}-15y=-54$$

將 54 加到方程式的兩邊。

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

從 -54 減去本身會剩下 0。

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

從 0 減去 -54。

$$y^{2}-15y+54=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -15 代入 b，以及將 54 代入 c。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

對 -15 平方。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4 乘上 54。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

將 225 加到 -216。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

取 9 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 的相反數是 15。

$$y=\frac{15±3}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{15±3}{2}。 將 15 加到 3。

$$y=\frac{18}{2}$$

18 除以 2。

$$y=9$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{15±3}{2}。 從 15 減去 3。

$$y=\frac{12}{2}$$

12 除以 2。

$$y=6$$

現已成功解出方程式。

$$y=9 y=6$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$y^{2}-15y=-54$$

將 -15 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{15}{2}。接著，將 -\frac{15}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

-\frac{15}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

將 -54 加到 \frac{225}{4}。

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

因數分解 y^{2}-15y+\frac{225}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

化簡。

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

將 \frac{15}{2} 加到方程式的兩邊。

$$y=9 y=6$$