Solve x^3+3x^2-x-6=0

$${ x }^{ 3 } +3 { x }^{ 2 } -x-6 = 0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \approx 1.302775638$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{2}\approx -2.302775638$$

$$x=-2$$

解題步驟

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 -6，而 q 除以前置係數 1。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±6,±3,±2,±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-2$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 x^{3}+3x^{2}-x-6 除以 x+2 以得到 x^{2}+x-3。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$x^{2}+x-3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 1 取代 a、以 1 取代 b 並以 -3 取 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

計算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 x^{2}+x-3=0。

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{2} x=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$$

列出所有找到的解決方案。

$$x=-2 x=\frac{-\sqrt{13}-1}{2} x=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$$