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解 x
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x^{2}-x-1=0
所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解,一個是在 ± 中使用加法,另一個是使用減法。
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},將 1 代入 a,將 -1 代入 b,以及將 -1 代入 c。
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}
-4 乘上 -1。
x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}
將 1 加到 4。
x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}
-1 的相反數是 1。
x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}
現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}。 將 1 加到 \sqrt{5}。
x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}。 從 1 減去 \sqrt{5}。
x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
現已成功解出方程式。
x^{2}-x-1=0
與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方,首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。
x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)
將 1 加到方程式的兩邊。
x^{2}-x=-\left(-1\right)
從 -1 減去本身會剩下 0。
x^{2}-x=1
從 0 減去 -1。
x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}
將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著,將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。
x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}
-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}
將 1 加到 \frac{1}{4}。
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}
因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言,當 x^{2}+bx+c 是完全平方時,一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}
取方程式兩邊的平方根。
x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}
化簡。
x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。