Solve x^2-5x-36=0

$${ x }^{ 2 } -5x-36=0$$

解 x

$$x=-4$$

$$x=9$$

使用因數分解的步驟

若要解方程式，請使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 對 x^{2}-5x-36 進行因數分解。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-5 ab=-36$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -36 的所有此類整數組合。

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

計算每個組合的總和。

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

該解為總和為 -5 的組合。

$$a=-9 b=4$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(x+a\right)\left(x+b\right)。

$$\left(x-9\right)\left(x+4\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-9=0 和 x+4=0。

$$x=9 x=-4$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-36。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -36 的所有此類整數組合。

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

計算每個組合的總和。

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

該解為總和為 -5 的組合。

$$a=-9 b=4$$

將 x^{2}-5x-36 重寫為 \left(x^{2}-9x\right)+\left(4x-36\right)。

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(4x-36\right)$$

對第一個與第二個群組中的 4 進行 x 因式分解。

$$x\left(x-9\right)+4\left(x-9\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-9。

$$\left(x-9\right)\left(x+4\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-9=0 和 x+4=0。

$$x=9 x=-4$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}-5x-36=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -5 代入 b，以及將 -36 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-36\right)}}{2}$$

對 -5 平方。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-36\right)}}{2}$$

-4 乘上 -36。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2}$$

將 25 加到 144。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2}$$

取 169 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2}$$

-5 的相反數是 5。

$$x=\frac{5±13}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{5±13}{2}。 將 5 加到 13。

$$x=\frac{18}{2}$$

18 除以 2。

$$x=9$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{5±13}{2}。 從 5 減去 13。

$$x=-\frac{8}{2}$$

-8 除以 2。

$$x=-4$$

現已成功解出方程式。

$$x=9 x=-4$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}-5x-36=0$$

將 36 加到方程式的兩邊。

$$x^{2}-5x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

從 -36 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}-5x=-\left(-36\right)$$

從 0 減去 -36。

$$x^{2}-5x=36$$

將 -5 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{2}。接著，將 -\frac{5}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

將 36 加到 \frac{25}{4}。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

因數分解 x^{2}-5x+\frac{25}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

將 \frac{5}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=9 x=-4$$