Solve x^2-5x+5=0

$${ x }^{ 2 } -5x+5=0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 5}{2} \approx 3.618033989$$

$$x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1.381966011$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}-5x+5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -5 代入 b，以及將 5 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

對 -5 平方。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5}}{2}$$

-4 乘上 5。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20}}{2}$$

將 25 加到 -20。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-5 的相反數是 5。

$$x=\frac{5±\sqrt{5}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{5±\sqrt{5}}{2}。 將 5 加到 \sqrt{5}。

$$x=\frac{\sqrt{5}+5}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{5±\sqrt{5}}{2}。 從 5 減去 \sqrt{5}。

$$x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}-5x+5=0$$

從方程式兩邊減去 5。

$$x^{2}-5x+5-5=-5$$

從 5 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}-5x=-5$$

將 -5 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{2}。接著，將 -\frac{5}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-5+\frac{25}{4}$$

將 -5 加到 \frac{25}{4}。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{4}$$

因數分解 x^{2}-5x+\frac{25}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

將 \frac{5}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$$