解決x^2+x+1=0 |Microsoft數學求解器

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}+x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 1 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

對 1 平方。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

將 1 加到 -4。

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

取 -3 的平方根。

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}。 將 -1 加到 i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}。 從 -1 減去 i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}+x+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}+x=-1$$

將 1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{2}。接著，將 \frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

將 -1 加到 \frac{1}{4}。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

因數分解 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$