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解 x (復數求解)
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x^{2}+5x=-14
所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解,一個是在 ± 中使用加法,另一個是使用減法。
x^{2}+5x-\left(-14\right)=-14-\left(-14\right)
將 14 加到方程式的兩邊。
x^{2}+5x-\left(-14\right)=0
從 -14 減去本身會剩下 0。
x^{2}+5x+14=0
從 0 減去 -14。
x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 14}}{2}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},將 1 代入 a,將 5 代入 b,以及將 14 代入 c。
x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 14}}{2}
對 5 平方。
x=\frac{-5±\sqrt{25-56}}{2}
-4 乘上 14。
x=\frac{-5±\sqrt{-31}}{2}
將 25 加到 -56。
x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}
取 -31 的平方根。
x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2}
現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}。 將 -5 加到 i\sqrt{31}。
x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}
現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-5±\sqrt{31}i}{2}。 從 -5 減去 i\sqrt{31}。
x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}
現已成功解出方程式。
x^{2}+5x=-14
與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方,首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。
x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-14+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}
將 5 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{5}{2}。接著,將 \frac{5}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。
x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-14+\frac{25}{4}
\frac{5}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。
x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{31}{4}
將 -14 加到 \frac{25}{4}。
\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}
因數分解 x^{2}+5x+\frac{25}{4}。一般而言,當 x^{2}+bx+c 是完全平方時,一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}
取方程式兩邊的平方根。
x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}
化簡。
x=\frac{-5+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-5}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。