Solve x^2+3x-180=0

$${ x }^{ 2 } +3x-180=0$$

解 x

$$x=-15$$

$$x=12$$

使用因數分解的步驟

若要解方程式，請使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 對 x^{2}+3x-180 進行因數分解。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=3 ab=-180$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -180 的所有此類整數組合。

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

計算每個組合的總和。

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

該解為總和為 3 的組合。

$$a=-12 b=15$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(x+a\right)\left(x+b\right)。

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-12=0 和 x+15=0。

$$x=12 x=-15$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-180。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -180 的所有此類整數組合。

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

計算每個組合的總和。

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

該解為總和為 3 的組合。

$$a=-12 b=15$$

將 x^{2}+3x-180 重寫為 \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)。

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

對第一個與第二個群組中的 15 進行 x 因式分解。

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-12。

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-12=0 和 x+15=0。

$$x=12 x=-15$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}+3x-180=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 3 代入 b，以及將 -180 代入 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

對 3 平方。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

-4 乘上 -180。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

將 9 加到 720。

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

取 729 的平方根。

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-3±27}{2}。 將 -3 加到 27。

$$x=\frac{24}{2}$$

24 除以 2。

$$x=12$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-3±27}{2}。 從 -3 減去 27。

$$x=-\frac{30}{2}$$

-30 除以 2。

$$x=-15$$

現已成功解出方程式。

$$x=12 x=-15$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}+3x-180=0$$

將 180 加到方程式的兩邊。

$$x^{2}+3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

從 -180 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}+3x=-\left(-180\right)$$

從 0 減去 -180。

$$x^{2}+3x=180$$

將 3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{2}。接著，將 \frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

將 180 加到 \frac{9}{4}。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

因數分解 x^{2}+3x+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

化簡。

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$x=12 x=-15$$