Solve x^2+12x=640

$${ x }^{ 2 } +12x=640$$

解 x

$$x=-32$$

$$x=20$$

使用因數分解的步驟

從兩邊減去 640。

$$x^{2}+12x-640=0$$

若要解方程式，請使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 對 x^{2}+12x-640 進行因數分解。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=12 ab=-640$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -640 的所有此類整數組合。

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

計算每個組合的總和。

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

該解為總和為 12 的組合。

$$a=-20 b=32$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(x+a\right)\left(x+b\right)。

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-20=0 和 x+32=0。

$$x=20 x=-32$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 640。

$$x^{2}+12x-640=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-640。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=12 ab=1\left(-640\right)=-640$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -640 的所有此類整數組合。

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

計算每個組合的總和。

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

該解為總和為 12 的組合。

$$a=-20 b=32$$

將 x^{2}+12x-640 重寫為 \left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right)。

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right)$$

對第一個與第二個群組中的 32 進行 x 因式分解。

$$x\left(x-20\right)+32\left(x-20\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-20。

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-20=0 和 x+32=0。

$$x=20 x=-32$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}+12x=640$$

從方程式兩邊減去 640。

$$x^{2}+12x-640=640-640$$

從 640 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}+12x-640=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 12 代入 b，以及將 -640 代入 c。

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-640\right)}}{2}$$

對 12 平方。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-640\right)}}{2}$$

-4 乘上 -640。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2560}}{2}$$

將 144 加到 2560。

$$x=\frac{-12±\sqrt{2704}}{2}$$

取 2704 的平方根。

$$x=\frac{-12±52}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-12±52}{2}。 將 -12 加到 52。

$$x=\frac{40}{2}$$

40 除以 2。

$$x=20$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-12±52}{2}。 從 -12 減去 52。

$$x=-\frac{64}{2}$$

-64 除以 2。

$$x=-32$$

現已成功解出方程式。

$$x=20 x=-32$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}+12x=640$$

將 12 (x 項的係數) 除以 2 可得到 6。接著，將 6 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+12x+6^{2}=640+6^{2}$$

對 6 平方。

$$x^{2}+12x+36=640+36$$

將 640 加到 36。

$$x^{2}+12x+36=676$$

因數分解 x^{2}+12x+36。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+6\right)^{2}=676$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{676}$$

化簡。

$$x+6=26 x+6=-26$$

從方程式兩邊減去 6。

$$x=20 x=-32$$