解決t^2-109t+900=0 |Microsoft數學求解器

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

解 t

$$t=9$$

$$t=100$$

使用因數分解的步驟

若要解方程式，請使用公式 t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) 對 t^{2}-109t+900 進行因數分解。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-109 ab=900$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 900 的所有此類整數組合。

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

計算每個組合的總和。

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

該解為總和為 -109 的組合。

$$a=-100 b=-9$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(t+a\right)\left(t+b\right)。

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 t-100=0 和 t-9=0。

$$t=100 t=9$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 t^{2}+at+bt+900。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 900 的所有此類整數組合。

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

計算每個組合的總和。

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

該解為總和為 -109 的組合。

$$a=-100 b=-9$$

將 t^{2}-109t+900 重寫為 \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)。

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -9 進行 t 因式分解。

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 t-100。

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 t-100=0 和 t-9=0。

$$t=100 t=9$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$t^{2}-109t+900=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -109 代入 b，以及將 900 代入 c。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

對 -109 平方。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

-4 乘上 900。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

將 11881 加到 -3600。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

取 8281 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

-109 的相反數是 109。

$$t=\frac{109±91}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 t=\frac{109±91}{2}。 將 109 加到 91。

$$t=\frac{200}{2}$$

200 除以 2。

$$t=100$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 t=\frac{109±91}{2}。 從 109 減去 91。

$$t=\frac{18}{2}$$

18 除以 2。

$$t=9$$

現已成功解出方程式。

$$t=100 t=9$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$t^{2}-109t+900=0$$

從方程式兩邊減去 900。

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

從 900 減去本身會剩下 0。

$$t^{2}-109t=-900$$

將 -109 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{109}{2}。接著，將 -\frac{109}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

-\frac{109}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

將 -900 加到 \frac{11881}{4}。

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

因數分解 t^{2}-109t+\frac{11881}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

化簡。

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

將 \frac{109}{2} 加到方程式的兩邊。

$$t=100 t=9$$