解決left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2 |Microsoft數學求解器

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

解 x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19.95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1.95445115$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+14\right)^{2}。

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+11\right)^{2}。

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

若要尋找 x^{2}+22x+121 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

合併 x^{2} 和 -x^{2} 以取得 0。

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

合併 28x 和 -22x 以取得 6x。

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

從 196 減去 121 會得到 75。

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-6\right)^{2}。

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

新增 12x 至兩側。

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

合併 6x 和 12x 以取得 18x。

$$18x+75-x^{2}=36$$

從兩邊減去 36。

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

從 75 減去 36 會得到 39。

$$18x+39-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+18x+39=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 18 代入 b，以及將 39 代入 c。

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

對 18 平方。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 39。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

將 324 加到 156。

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

取 480 的平方根。

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}。 將 -18 加到 4\sqrt{30}。

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18+4\sqrt{30} 除以 -2。

$$x=9-2\sqrt{30}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}。 從 -18 減去 4\sqrt{30}。

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

-18-4\sqrt{30} 除以 -2。

$$x=2\sqrt{30}+9$$

現已成功解出方程式。

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+14\right)^{2}。

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+11\right)^{2}。

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

若要尋找 x^{2}+22x+121 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

合併 x^{2} 和 -x^{2} 以取得 0。

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

合併 28x 和 -22x 以取得 6x。

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

從 196 減去 121 會得到 75。

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-6\right)^{2}。

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

新增 12x 至兩側。

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

合併 6x 和 12x 以取得 18x。

$$18x+75-x^{2}=36$$

從兩邊減去 75。

$$18x-x^{2}=36-75$$

從 36 減去 75 會得到 -39。

$$18x-x^{2}=-39$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}+18x=-39$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

18 除以 -1。

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

-39 除以 -1。

$$x^{2}-18x=39$$

將 -18 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -9。接著，將 -9 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

對 -9 平方。

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

將 39 加到 81。

$$x^{2}-18x+81=120$$

因數分解 x^{2}-18x+81。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

化簡。

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$