解決{left(1/4xright)}^2+left(40-xright)^2=58 |Microsoft數學求解器

$${ \left( \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } + { \left(40-x \right) }^{ 2 } = 58$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{640+4\sqrt{614}i}{17}\approx 37.647058824+5.830358444i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{614}i+640}{17}\approx 37.647058824-5.830358444i$$

使用二次方程式公式的步驟

展開 \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}。

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(40-x\right)^{2}=58$$

計算 \frac{1}{4} 的 2 乘冪，然後得到 \frac{1}{16}。

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(40-x\right)^{2}=58$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(40-x\right)^{2}。

$$\frac{1}{16}x^{2}+1600-80x+x^{2}=58$$

合併 \frac{1}{16}x^{2} 和 x^{2} 以取得 \frac{17}{16}x^{2}。

$$\frac{17}{16}x^{2}+1600-80x=58$$

從兩邊減去 58。

$$\frac{17}{16}x^{2}+1600-80x-58=0$$

從 1600 減去 58 會得到 1542。

$$\frac{17}{16}x^{2}+1542-80x=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$\frac{17}{16}x^{2}-80x+1542=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 \frac{17}{16} 代入 a，將 -80 代入 b，以及將 1542 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times \frac{17}{16}\times 1542}}{2\times \frac{17}{16}}$$

對 -80 平方。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times \frac{17}{16}\times 1542}}{2\times \frac{17}{16}}$$

-4 乘上 \frac{17}{16}。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-\frac{17}{4}\times 1542}}{2\times \frac{17}{16}}$$

-\frac{17}{4} 乘上 1542。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-\frac{13107}{2}}}{2\times \frac{17}{16}}$$

將 6400 加到 -\frac{13107}{2}。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{-\frac{307}{2}}}{2\times \frac{17}{16}}$$

取 -\frac{307}{2} 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{2\times \frac{17}{16}}$$

-80 的相反數是 80。

$$x=\frac{80±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{2\times \frac{17}{16}}$$

2 乘上 \frac{17}{16}。

$$x=\frac{80±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{\frac{17}{8}}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{80±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{\frac{17}{8}}。 將 80 加到 \frac{i\sqrt{614}}{2}。

$$x=\frac{\frac{\sqrt{614}i}{2}+80}{\frac{17}{8}}$$

80+\frac{i\sqrt{614}}{2} 除以 \frac{17}{8} 的算法是將 80+\frac{i\sqrt{614}}{2} 乘以 \frac{17}{8} 的倒數。

$$x=\frac{640+4\sqrt{614}i}{17}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{80±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{\frac{17}{8}}。 從 80 減去 \frac{i\sqrt{614}}{2}。

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{614}i}{2}+80}{\frac{17}{8}}$$

80-\frac{i\sqrt{614}}{2} 除以 \frac{17}{8} 的算法是將 80-\frac{i\sqrt{614}}{2} 乘以 \frac{17}{8} 的倒數。

$$x=\frac{-4\sqrt{614}i+640}{17}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{640+4\sqrt{614}i}{17} x=\frac{-4\sqrt{614}i+640}{17}$$

配方法的步驟

展開 \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}。

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(40-x\right)^{2}=58$$

計算 \frac{1}{4} 的 2 乘冪，然後得到 \frac{1}{16}。

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(40-x\right)^{2}=58$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(40-x\right)^{2}。

$$\frac{1}{16}x^{2}+1600-80x+x^{2}=58$$

合併 \frac{1}{16}x^{2} 和 x^{2} 以取得 \frac{17}{16}x^{2}。

$$\frac{17}{16}x^{2}+1600-80x=58$$

從兩邊減去 1600。

$$\frac{17}{16}x^{2}-80x=58-1600$$

從 58 減去 1600 會得到 -1542。

$$\frac{17}{16}x^{2}-80x=-1542$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{17}{16}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$\frac{\frac{17}{16}x^{2}-80x}{\frac{17}{16}}=-\frac{1542}{\frac{17}{16}}$$

除以 \frac{17}{16} 可以取消乘以 \frac{17}{16} 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{\frac{17}{16}}\right)x=-\frac{1542}{\frac{17}{16}}$$

-80 除以 \frac{17}{16} 的算法是將 -80 乘以 \frac{17}{16} 的倒數。

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x=-\frac{1542}{\frac{17}{16}}$$

-1542 除以 \frac{17}{16} 的算法是將 -1542 乘以 \frac{17}{16} 的倒數。

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x=-\frac{24672}{17}$$

將 -\frac{1280}{17} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{640}{17}。接著，將 -\frac{640}{17} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x+\left(-\frac{640}{17}\right)^{2}=-\frac{24672}{17}+\left(-\frac{640}{17}\right)^{2}$$

-\frac{640}{17} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x+\frac{409600}{289}=-\frac{24672}{17}+\frac{409600}{289}$$

將 -\frac{24672}{17} 與 \frac{409600}{289} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x+\frac{409600}{289}=-\frac{9824}{289}$$

因數分解 x^{2}-\frac{1280}{17}x+\frac{409600}{289}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{640}{17}\right)^{2}=-\frac{9824}{289}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{640}{17}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9824}{289}}$$

化簡。

$$x-\frac{640}{17}=\frac{4\sqrt{614}i}{17} x-\frac{640}{17}=-\frac{4\sqrt{614}i}{17}$$

將 \frac{640}{17} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{640+4\sqrt{614}i}{17} x=\frac{-4\sqrt{614}i+640}{17}$$