解決sqrt{2x+3x^2}=2x^2 |Microsoft數學求解器

$$\sqrt{ 2x+3 { x }^{ 2 } } =2 { x }^{ 2 }$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 1.097911673$$

$$x=0$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{2x+3x^{2}}\right)^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{2x+3x^{2}} 的 2 乘冪，然後得到 2x+3x^{2}。

$$2x+3x^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

展開 \left(2x^{2}\right)^{2}。

$$2x+3x^{2}=2^{2}\left(x^{2}\right)^{2}$$

計算某數乘冪之乘冪的方法: 將指數相乘。2 乘 2 得到 4。

$$2x+3x^{2}=2^{2}x^{4}$$

計算 2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$2x+3x^{2}=4x^{4}$$

從兩邊減去 4x^{4}。

$$2x+3x^{2}-4x^{4}=0$$

以 t 代入 x^{2}。

$$-4t^{2}+3t+2=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 -4 取代 a、以 3 取代 b 並以 2 取 c。

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{-4\times 2}$$

計算。

$$t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}。

$$t=\frac{3-\sqrt{41}}{8} t=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

因為 x=t^{2}，在 t 為正數時，可以計算 x=±\sqrt{t} 得到解。

$$x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}$$

在方程式 \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2} 中以 \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} 代入 x。

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}+3\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

化簡。 x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} 的值不符合方程式。

$$\frac{1}{2}\left(2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

在方程式 \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2} 中以 -\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} 代入 x。

$$\sqrt{2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)+3\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

化簡。 x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} 的值不符合方程式。

$$\frac{1}{2}\left(-2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

方程式 \sqrt{3x^{2}+2x}=2x^{2} 無解。

$$x\in \emptyset$$