解決sqrt{15}div(1/sqrt{3}+1/sqrt{5}) |Microsoft數學求解器

$$\sqrt{ 15 } \div ( \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5 } } )$$

評估

$$\frac{15\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}\approx 3.780128774$$

簡短的解題步驟

將分子和分母同時乘以 \sqrt{3}，來有理化 \frac{1}{\sqrt{3}} 的分母。

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\sqrt{5}}}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{5}，來有理化 \frac{1}{\sqrt{5}} 的分母。

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{5}}$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 3 和 5 的最小公倍式為 15。 \frac{\sqrt{3}}{3} 乘上 \frac{5}{5}。 \frac{\sqrt{5}}{5} 乘上 \frac{3}{3}。

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{5\sqrt{3}}{15}+\frac{3\sqrt{5}}{15}}$$

因為 \frac{5\sqrt{3}}{15} 和 \frac{3\sqrt{5}}{15} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\frac{\sqrt{15}}{\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15}}$$

\sqrt{15} 除以 \frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15} 的算法是將 \sqrt{15} 乘以 \frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{15} 的倒數。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}$$

將分子和分母同時乘以 5\sqrt{3}-3\sqrt{5}，來有理化 \frac{\sqrt{15}\times 15}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}} 的分母。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}$$

請考慮 \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展開 \left(5\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

計算 5 的 2 乘冪，然後得到 25。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{25\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{25\times 3-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

將 25 乘上 3 得到 75。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-\left(3\sqrt{5}\right)^{2}}$$

展開 \left(3\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

計算 3 的 2 乘冪，然後得到 9。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-9\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-9\times 5}$$

將 9 乘上 5 得到 45。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{75-45}$$

從 75 減去 45 會得到 30。

$$\frac{\sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)}{30}$$

將 \sqrt{15}\times 15\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right) 除以 30 以得到 \sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)。

$$\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)$$

計算 \sqrt{15}\times \frac{1}{2} 乘上 5\sqrt{3}-3\sqrt{5} 時使用乘法分配律。

$$\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{3}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

因數分解 15=3\times 5。 將產品 \sqrt{3\times 5} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{3}\sqrt{5} 的乘積。

$$\sqrt{3}\sqrt{5}\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{3}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

將 \sqrt{3} 乘上 \sqrt{3} 得到 3。

$$3\times \frac{1}{2}\times 5\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

將 3 乘上 \frac{1}{2} 得到 \frac{3}{2}。

$$\frac{3}{2}\times 5\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

運算式 \frac{3}{2}\times 5 為最簡分數。

$$\frac{3\times 5}{2}\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

將 3 乘上 5 得到 15。

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\sqrt{15}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

因數分解 15=5\times 3。 將產品 \sqrt{5\times 3} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{5}\sqrt{3} 的乘積。

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\sqrt{5}\sqrt{3}\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{5}$$

將 \sqrt{5} 乘上 \sqrt{5} 得到 5。

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+5\times \frac{1}{2}\left(-3\right)\sqrt{3}$$

將 5 乘上 \frac{1}{2} 得到 \frac{5}{2}。

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{5}{2}\left(-3\right)\sqrt{3}$$

運算式 \frac{5}{2}\left(-3\right) 為最簡分數。

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{5\left(-3\right)}{2}\sqrt{3}$$

將 5 乘上 -3 得到 -15。

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}+\frac{-15}{2}\sqrt{3}$$

分數 \frac{-15}{2} 可以消去負號改寫為 -\frac{15}{2}。

$$\frac{15}{2}\sqrt{5}-\frac{15}{2}\sqrt{3}$$