解決sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x |Microsoft數學求解器

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

解 x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

2 和 4 的最小公倍數為 4。將 \frac{1}{2} 和 \frac{1}{4} 轉換為分母是 4 的分數。

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

因為 \frac{2}{4} 和 \frac{1}{4} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

將 2 與 1 相加可以得到 3。

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

4 和 8 的最小公倍數為 8。將 \frac{3}{4} 和 \frac{1}{8} 轉換為分母是 8 的分數。

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

因為 \frac{6}{8} 和 \frac{1}{8} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

將 6 與 1 相加可以得到 7。

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

8 和 16 的最小公倍數為 16。將 \frac{7}{8} 和 \frac{1}{16} 轉換為分母是 16 的分數。

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

因為 \frac{14}{16} 和 \frac{1}{16} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

將 14 與 1 相加可以得到 15。

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

計算 \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} 的 2 乘冪，然後得到 \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x。

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 \frac{1}{2} 代入 b，以及將 \frac{15}{16} 代入 c。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 \frac{15}{16}。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

將 \frac{1}{4} 與 \frac{15}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

取 4 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}。 將 -\frac{1}{2} 加到 2。

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

\frac{3}{2} 除以 -2。

$$x=-\frac{3}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}。 從 -\frac{1}{2} 減去 2。

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

-\frac{5}{2} 除以 -2。

$$x=\frac{5}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

在方程式 \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x 中以 -\frac{3}{4} 代入 x。

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

化簡。 x=-\frac{3}{4} 這個值無法滿足方程式，因為左右側有相反的符號。

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

在方程式 \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x 中以 \frac{5}{4} 代入 x。

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=\frac{5}{4}。

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

方程式 \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x 有獨特的解。

$$x=\frac{5}{4}$$