解決sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1} |Microsoft數學求解器

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

解 x

$$x=2$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{5x-1} 的 2 乘冪，然後得到 5x-1。

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{3x-2} 的 2 乘冪，然後得到 3x-2。

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

合併 5x 和 3x 以取得 8x。

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

從 -1 減去 2 會得到 -3。

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x-1} 的 2 乘冪，然後得到 x-1。

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

從方程式兩邊減去 8x-3。

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

若要尋找 8x-3 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

合併 x 和 -8x 以取得 -7x。

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

將 -1 與 3 相加可以得到 2。

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

展開 \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}。

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

計算 -2 的 2 乘冪，然後得到 4。

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

計算 \sqrt{5x-1} 的 2 乘冪，然後得到 5x-1。

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

計算 \sqrt{3x-2} 的 2 乘冪，然後得到 3x-2。

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

計算 4 乘上 5x-1 時使用乘法分配律。

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

透過將 20x-4 的每個項乘以 3x-2 的每個項以套用乘法分配律。

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

合併 -40x 和 -12x 以取得 -52x。

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(-7x+2\right)^{2}。

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

從兩邊減去 49x^{2}。

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

合併 60x^{2} 和 -49x^{2} 以取得 11x^{2}。

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

新增 28x 至兩側。

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

合併 -52x 和 28x 以取得 -24x。

$$11x^{2}-24x+8=4$$

從兩邊減去 4。

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

從 8 減去 4 會得到 4。

$$11x^{2}-24x+4=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 11x^{2}+ax+bx+4。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 44 的所有此類整數組合。

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

計算每個組合的總和。

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

該解的總和為 -24。

$$a=-22 b=-2$$

將 11x^{2}-24x+4 重寫為 \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)。

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

在第一個組因式分解是 11x，且第二個組是 -2。

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-2。

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-2=0 並 11x-2=0。

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

在方程式 \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} 中以 \frac{2}{11} 代入 x。 運算式 \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} 未定義，因為 radicand 不能是負數。

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

在方程式 \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} 中以 2 代入 x。

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=2。

$$1=1$$

方程式 \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} 有獨特的解。

$$x=2$$