解決sqrt{2x-9}=5-sqrt{x-3} |Microsoft數學求解器

$$\sqrt { 2 x - 9 } = 5 - \sqrt { x - 3 }$$

解 x

$$x=81-10\sqrt{53}\approx 8.198901107$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{2x-9}\right)^{2}=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{2x-9} 的 2 乘冪，然後得到 2x-9。

$$2x-9=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}。

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x-3} 的 2 乘冪，然後得到 x-3。

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+x-3$$

從 25 減去 3 會得到 22。

$$2x-9=22-10\sqrt{x-3}+x$$

從方程式兩邊減去 22+x。

$$2x-9-\left(22+x\right)=-10\sqrt{x-3}$$

若要尋找 22+x 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$2x-9-22-x=-10\sqrt{x-3}$$

從 -9 減去 22 會得到 -31。

$$2x-31-x=-10\sqrt{x-3}$$

合併 2x 和 -x 以取得 x。

$$x-31=-10\sqrt{x-3}$$

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(x-31\right)^{2}=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-31\right)^{2}。

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

展開 \left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}。

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

計算 -10 的 2 乘冪，然後得到 100。

$$x^{2}-62x+961=100\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x-3} 的 2 乘冪，然後得到 x-3。

$$x^{2}-62x+961=100\left(x-3\right)$$

計算 100 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$x^{2}-62x+961=100x-300$$

從兩邊減去 100x。

$$x^{2}-62x+961-100x=-300$$

合併 -62x 和 -100x 以取得 -162x。

$$x^{2}-162x+961=-300$$

新增 300 至兩側。

$$x^{2}-162x+961+300=0$$

將 961 與 300 相加可以得到 1261。

$$x^{2}-162x+1261=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -162 代入 b，以及將 1261 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{\left(-162\right)^{2}-4\times 1261}}{2}$$

對 -162 平方。

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-4\times 1261}}{2}$$

-4 乘上 1261。

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-5044}}{2}$$

將 26244 加到 -5044。

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{21200}}{2}$$

取 21200 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-162\right)±20\sqrt{53}}{2}$$

-162 的相反數是 162。

$$x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}。 將 162 加到 20\sqrt{53}。

$$x=\frac{20\sqrt{53}+162}{2}$$

162+20\sqrt{53} 除以 2。

$$x=10\sqrt{53}+81$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}。 從 162 減去 20\sqrt{53}。

$$x=\frac{162-20\sqrt{53}}{2}$$

162-20\sqrt{53} 除以 2。

$$x=81-10\sqrt{53}$$

現已成功解出方程式。

$$x=10\sqrt{53}+81 x=81-10\sqrt{53}$$

在方程式 \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3} 中以 10\sqrt{53}+81 代入 x。

$$\sqrt{2\left(10\sqrt{53}+81\right)-9}=5-\sqrt{10\sqrt{53}+81-3}$$

化簡。 x=10\sqrt{53}+81 這個值無法滿足方程式，因為左右側有相反的符號。

$$10+53^{\frac{1}{2}}=-53^{\frac{1}{2}}$$

在方程式 \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3} 中以 81-10\sqrt{53} 代入 x。

$$\sqrt{2\left(81-10\sqrt{53}\right)-9}=5-\sqrt{81-10\sqrt{53}-3}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=81-10\sqrt{53}。

$$10-53^{\frac{1}{2}}=10-53^{\frac{1}{2}}$$

方程式 \sqrt{2x-9}=-\sqrt{x-3}+5 有獨特的解。

$$x=81-10\sqrt{53}$$