解決sqrt{2x+7}-3x+1=x-1 |Microsoft數學求解器

$$\sqrt { 2 x + 7 } - 3 x + 1 = x - 1$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{129} + 9}{16} \approx 1.272363543$$

解題步驟

從方程式兩邊減去 -3x+1。

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x+1\right)$$

若要尋找 -3x+1 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$\sqrt{2x+7}=x-1-\left(-3x\right)-1$$

-3x 的相反數是 3x。

$$\sqrt{2x+7}=x-1+3x-1$$

合併 x 和 3x 以取得 4x。

$$\sqrt{2x+7}=4x-1-1$$

從 -1 減去 1 會得到 -2。

$$\sqrt{2x+7}=4x-2$$

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}=\left(4x-2\right)^{2}$$

計算 \sqrt{2x+7} 的 2 乘冪，然後得到 2x+7。

$$2x+7=\left(4x-2\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(4x-2\right)^{2}。

$$2x+7=16x^{2}-16x+4$$

從兩邊減去 16x^{2}。

$$2x+7-16x^{2}=-16x+4$$

新增 16x 至兩側。

$$2x+7-16x^{2}+16x=4$$

合併 2x 和 16x 以取得 18x。

$$18x+7-16x^{2}=4$$

從兩邊減去 4。

$$18x+7-16x^{2}-4=0$$

從 7 減去 4 會得到 3。

$$18x+3-16x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-16x^{2}+18x+3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -16 代入 a，將 18 代入 b，以及將 3 代入 c。

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

對 18 平方。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-16\right)\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

-4 乘上 -16。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+64\times 3}}{2\left(-16\right)}$$

64 乘上 3。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+192}}{2\left(-16\right)}$$

將 324 加到 192。

$$x=\frac{-18±\sqrt{516}}{2\left(-16\right)}$$

取 516 的平方根。

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{2\left(-16\right)}$$

2 乘上 -16。

$$x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}。 將 -18 加到 2\sqrt{129}。

$$x=\frac{2\sqrt{129}-18}{-32}$$

-18+2\sqrt{129} 除以 -32。

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-18±2\sqrt{129}}{-32}。 從 -18 減去 2\sqrt{129}。

$$x=\frac{-2\sqrt{129}-18}{-32}$$

-18-2\sqrt{129} 除以 -32。

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$

在方程式 \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1 中以 \frac{9-\sqrt{129}}{16} 代入 x。

$$\sqrt{2\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+7}-3\times \frac{9-\sqrt{129}}{16}+1=\frac{9-\sqrt{129}}{16}-1$$

化簡。 x=\frac{9-\sqrt{129}}{16} 這個值無法滿足方程式，因為左右側有相反的符號。

$$-\frac{15}{16}+\frac{7}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=-\frac{7}{16}-\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}$$

在方程式 \sqrt{2x+7}-3x+1=x-1 中以 \frac{\sqrt{129}+9}{16} 代入 x。

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+7}-3\times \frac{\sqrt{129}+9}{16}+1=\frac{\sqrt{129}+9}{16}-1$$

化簡。 滿足方程式的值 x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}。

$$-\frac{7}{16}+\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\times 129^{\frac{1}{2}}-\frac{7}{16}$$

方程式 \sqrt{2x+7}=4x-2 有獨特的解。

$$x=\frac{\sqrt{129}+9}{16}$$