解決sqrt{2-x}=x-1 |Microsoft數學求解器

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

計算 \sqrt{2-x} 的 2 乘冪，然後得到 2-x。

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-1\right)^{2}。

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

新增 2x 至兩側。

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

合併 -x 和 2x 以取得 x。

$$2+x-x^{2}=1$$

從兩邊減去 1。

$$2+x-x^{2}-1=0$$

從 2 減去 1 會得到 1。

$$1+x-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+x+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 1 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

對 1 平方。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

將 1 加到 4。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}。 將 -1 加到 \sqrt{5}。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1+\sqrt{5} 除以 -2。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}。 從 -1 減去 \sqrt{5}。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1-\sqrt{5} 除以 -2。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

在方程式 \sqrt{2-x}=x-1 中以 \frac{1-\sqrt{5}}{2} 代入 x。

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

化簡。 x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} 這個值無法滿足方程式，因為左右側有相反的符號。

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

在方程式 \sqrt{2-x}=x-1 中以 \frac{\sqrt{5}+1}{2} 代入 x。

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

化簡。 滿足方程式的值 x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}。

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

方程式 \sqrt{2-x}=x-1 有獨特的解。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$