解決sqrt{2}K^2+6K=-19sqrt{2} |Microsoft數學求解器

$$\sqrt { 2 } K ^ { 2 } + 6 K = - 19 \sqrt { 2 }$$

解 K

$$K=\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{58}i}{2}\approx -2.121320344+3.807886553i$$

$$K=\frac{-\sqrt{58}i-3\sqrt{2}}{2}\approx -2.121320344-3.807886553i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$\sqrt{2}K^{2}+6K=-19\sqrt{2}$$

從方程式兩邊減去 -19\sqrt{2}。

$$\sqrt{2}K^{2}+6K-\left(-19\sqrt{2}\right)=-19\sqrt{2}-\left(-19\sqrt{2}\right)$$

從 -19\sqrt{2} 減去本身會剩下 0。

$$\sqrt{2}K^{2}+6K-\left(-19\sqrt{2}\right)=0$$

從 0 減去 -19\sqrt{2}。

$$\sqrt{2}K^{2}+6K+19\sqrt{2}=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 \sqrt{2} 代入 a，將 6 代入 b，以及將 19\sqrt{2} 代入 c。

$$K=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\sqrt{2}\times 19\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$$

對 6 平方。

$$K=\frac{-6±\sqrt{36-4\sqrt{2}\times 19\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$$

-4 乘上 \sqrt{2}。

$$K=\frac{-6±\sqrt{36+\left(-4\sqrt{2}\right)\times 19\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$$

-4\sqrt{2} 乘上 19\sqrt{2}。

$$K=\frac{-6±\sqrt{36-152}}{2\sqrt{2}}$$

將 36 加到 -152。

$$K=\frac{-6±\sqrt{-116}}{2\sqrt{2}}$$

取 -116 的平方根。

$$K=\frac{-6±2\sqrt{29}i}{2\sqrt{2}}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 K=\frac{-6±2\sqrt{29}i}{2\sqrt{2}}。 將 -6 加到 2i\sqrt{29}。

$$K=\frac{-6+2\sqrt{29}i}{2\sqrt{2}}$$

-6+2i\sqrt{29} 除以 2\sqrt{2}。

$$K=\frac{\sqrt{2}\left(-3+\sqrt{29}i\right)}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 K=\frac{-6±2\sqrt{29}i}{2\sqrt{2}}。 從 -6 減去 2i\sqrt{29}。

$$K=\frac{-2\sqrt{29}i-6}{2\sqrt{2}}$$

-6-2i\sqrt{29} 除以 2\sqrt{2}。

$$K=-\frac{\sqrt{2}\left(3+\sqrt{29}i\right)}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$K=\frac{\sqrt{2}\left(-3+\sqrt{29}i\right)}{2} K=-\frac{\sqrt{2}\left(3+\sqrt{29}i\right)}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$\sqrt{2}K^{2}+6K=-19\sqrt{2}$$

將兩邊同時除以 \sqrt{2}。

$$\frac{\sqrt{2}K^{2}+6K}{\sqrt{2}}=-\frac{19\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$

除以 \sqrt{2} 可以取消乘以 \sqrt{2} 造成的效果。

$$K^{2}+\frac{6}{\sqrt{2}}K=-\frac{19\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$

6 除以 \sqrt{2}。

$$K^{2}+3\sqrt{2}K=-\frac{19\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$

-19\sqrt{2} 除以 \sqrt{2}。

$$K^{2}+3\sqrt{2}K=-19$$

將 3\sqrt{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3\sqrt{2}}{2}。接著，將 \frac{3\sqrt{2}}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$K^{2}+3\sqrt{2}K+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=-19+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$

對 \frac{3\sqrt{2}}{2} 平方。

$$K^{2}+3\sqrt{2}K+\frac{9}{2}=-19+\frac{9}{2}$$

將 -19 加到 \frac{9}{2}。

$$K^{2}+3\sqrt{2}K+\frac{9}{2}=-\frac{29}{2}$$

因數分解 K^{2}+3\sqrt{2}K+\frac{9}{2}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(K+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=-\frac{29}{2}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(K+\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{29}{2}}$$

化簡。

$$K+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{58}i}{2} K+\frac{3\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{58}i}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3\sqrt{2}}{2}。

$$K=\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{58}i}{2} K=\frac{-\sqrt{58}i-3\sqrt{2}}{2}$$