解決sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2 |Microsoft數學求解器

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

解 x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

解題步驟

從方程式兩邊減去 -\sqrt{19-x^{2}}。

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{15+x^{2}} 的 2 乘冪，然後得到 15+x^{2}。

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}。

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{19-x^{2}} 的 2 乘冪，然後得到 19-x^{2}。

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

將 4 與 19 相加可以得到 23。

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

從方程式兩邊減去 23-x^{2}。

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

若要尋找 23-x^{2} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

從 15 減去 23 會得到 -8。

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

合併 x^{2} 和 x^{2} 以取得 2x^{2}。

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(-8+2x^{2}\right)^{2}。

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

計算某數乘冪之乘冪的方法: 將指數相乘。2 乘 2 得到 4。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

展開 \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

計算 4 的 2 乘冪，然後得到 16。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{19-x^{2}} 的 2 乘冪，然後得到 19-x^{2}。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

計算 16 乘上 19-x^{2} 時使用乘法分配律。

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

從兩邊減去 304。

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

從 64 減去 304 會得到 -240。

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

新增 16x^{2} 至兩側。

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

合併 -32x^{2} 和 16x^{2} 以取得 -16x^{2}。

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

以 t 代入 x^{2}。

$$4t^{2}-16t-240=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 4 取代 a、以 -16 取代 b 並以 -240 取 c。

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

計算。

$$t=\frac{16±64}{8}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 t=\frac{16±64}{8}。

$$t=10 t=-6$$

因為 x=t^{2}，在 t 為正數時，可以計算 x=±\sqrt{t} 得到解。

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

在方程式 \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 中以 \sqrt{10} 代入 x。

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

化簡。 滿足方程式的值 x=\sqrt{10}。

$$2=2$$

在方程式 \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 中以 -\sqrt{10} 代入 x。

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

化簡。 滿足方程式的值 x=-\sqrt{10}。

$$2=2$$

列出 \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2 所有的解。

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$