解決sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2} |Microsoft數學求解器

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

解 x

$$x=y+2$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(7-x\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(1-y\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

將 49 與 1 相加可以得到 50。

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} 的 2 乘冪，然後得到 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(3-x\right)^{2}。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(5-y\right)^{2}。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

將 9 與 25 相加可以得到 34。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} 的 2 乘冪，然後得到 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

新增 6x 至兩側。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

合併 -14x 和 6x 以取得 -8x。

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

合併 x^{2} 和 -x^{2} 以取得 0。

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

從兩邊減去 50。

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

從 34 減去 50 會得到 -16。

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

新增 2y 至兩側。

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

合併 -10y 和 2y 以取得 -8y。

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

從兩邊減去 y^{2}。

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

合併 y^{2} 和 -y^{2} 以取得 0。

$$-8x=-16-8y$$

方程式為標準式。

$$-8x=-8y-16$$

將兩邊同時除以 -8。

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

除以 -8 可以取消乘以 -8 造成的效果。

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

-16-8y 除以 -8。

$$x=y+2$$

在方程式 \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} 中以 y+2 代入 x。

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=y+2。

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

方程式 \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} 有獨特的解。

$$x=y+2$$

解 y

$$y=x-2$$

解題步驟

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(7-x\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(1-y\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

將 49 與 1 相加可以得到 50。

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} 的 2 乘冪，然後得到 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(3-x\right)^{2}。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(5-y\right)^{2}。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

將 9 與 25 相加可以得到 34。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} 的 2 乘冪，然後得到 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

新增 10y 至兩側。

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

合併 -2y 和 10y 以取得 8y。

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

從兩邊減去 y^{2}。

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

合併 y^{2} 和 -y^{2} 以取得 0。

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

從兩邊減去 50。

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

從 34 減去 50 會得到 -16。

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

新增 14x 至兩側。

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

合併 -6x 和 14x 以取得 8x。

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

合併 x^{2} 和 -x^{2} 以取得 0。

$$8y=-16+8x$$

方程式為標準式。

$$8y=8x-16$$

將兩邊同時除以 8。

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

除以 8 可以取消乘以 8 造成的效果。

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

-16+8x 除以 8。

$$y=x-2$$

在方程式 \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} 中以 x-2 代入 y。

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

化簡。 滿足方程式的值 y=x-2。

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

方程式 \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} 有獨特的解。

$$y=x-2$$