解決sqrt{2/3}-(1/6sqrt{24}-3/2sqrt{12})+(sqrt{2}-sqrt{3})(sqrt{2}+sqrt{3}) |Microsoft數學求解器

$$\sqrt { \frac { 2 } { 3 } } - ( \frac { 1 } { 6 } \sqrt { 24 } - \frac { 3 } { 2 } \sqrt { 12 } ) + ( \sqrt { 2 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } )$$

評估

$$3\sqrt{3}-1\approx 4.196152423$$

解題步驟

將相除後做平方根 \sqrt{\frac{2}{3}} 再寫成兩個平方根相除 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}。

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\left(\frac{1}{6}\sqrt{24}-\frac{3}{2}\sqrt{12}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{3}，來有理化 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} 的分母。

$$\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\left(\frac{1}{6}\sqrt{24}-\frac{3}{2}\sqrt{12}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3}-\left(\frac{1}{6}\sqrt{24}-\frac{3}{2}\sqrt{12}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

若要將 \sqrt{2} 和 \sqrt{3} 相乘，請將數位乘在平方根之下。

$$\frac{\sqrt{6}}{3}-\left(\frac{1}{6}\sqrt{24}-\frac{3}{2}\sqrt{12}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

因數分解 24=2^{2}\times 6。 將產品 \sqrt{2^{2}\times 6} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{2^{2}}\sqrt{6} 的乘積。 取 2^{2} 的平方根。

$$\frac{\sqrt{6}}{3}-\left(\frac{1}{6}\times 2\sqrt{6}-\frac{3}{2}\sqrt{12}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

將 \frac{1}{6} 乘上 2 得到 \frac{2}{6}。

$$\frac{\sqrt{6}}{3}-\left(\frac{2}{6}\sqrt{6}-\frac{3}{2}\sqrt{12}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{6} 約分至最低項。

$$\frac{\sqrt{6}}{3}-\left(\frac{1}{3}\sqrt{6}-\frac{3}{2}\sqrt{12}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

因數分解 12=2^{2}\times 3。 將產品 \sqrt{2^{2}\times 3} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{2^{2}}\sqrt{3} 的乘積。 取 2^{2} 的平方根。

$$\frac{\sqrt{6}}{3}-\left(\frac{1}{3}\sqrt{6}-\frac{3}{2}\times 2\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

同時消去 2 和 2。

$$\frac{\sqrt{6}}{3}-\left(\frac{1}{3}\sqrt{6}-3\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

若要尋找 \frac{1}{3}\sqrt{6}-3\sqrt{3} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{6}-\left(-3\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

合併 \frac{\sqrt{6}}{3} 和 -\frac{1}{3}\sqrt{6} 以取得 0。

$$-\left(-3\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

-3\sqrt{3} 的相反數是 3\sqrt{3}。

$$3\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$$

請考慮 \left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$3\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$3\sqrt{3}+2-\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$3\sqrt{3}+2-3$$

從 2 減去 3 會得到 -1。

$$3\sqrt{3}-1$$

因式分解

$$3 \sqrt{3} - 1 = 4.196152423$$