對 x 微分
\cos(x)
評估
\sin(x)
圖表
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)
對函式 f\left(x\right),導數是當 h 逼近 0 時 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的極限值 (如果極限值存在的話)。
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
使用正弦的合計公式。
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}
因式分解 \sin(x)。
\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
改寫極限。
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
計算 h 逼近 0 時的極限值,可以利用 x 是常數的事實。
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)
limit \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} 為 1。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
計算 limit \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} 的方法: 先將分母與分子乘上 \cos(h)+1。
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
\cos(h)+1 乘上 \cos(h)-1。
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
使用平方關係式。
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
改寫極限。
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
limit \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} 為 1。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
利用 \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} 在 0 上是連續的事實。
\cos(x)
將值 0 代入運算式 \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}