解決sinalpha |Microsoft數學求解器

$$\sin \alpha$$

對 α 微分

$$\cos(\alpha )$$

使用導數定義的步驟

對函式 f\left(x\right)，導數是當 h 逼近 0 時 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的極限值 (如果極限值存在的話)。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\sin(\alpha ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\alpha +h)-\sin(\alpha )}{h}\right)$$

使用正弦的合計公式。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+\alpha )-\sin(\alpha )}{h}$$

因式分解 \sin(\alpha )。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(\alpha )\left(\cos(h)-1\right)+\cos(\alpha )\sin(h)}{h}$$

改寫極限。

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(\alpha )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

計算 h 逼近 0 時的極限值，可以利用 \alpha 是常數的事實。

$$\sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

limit \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha } 為 1。

$$\sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha )$$

計算 limit \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} 的方法: 先將分母與分子乘上 \cos(h)+1。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

\cos(h)+1 乘上 \cos(h)-1。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

使用平方關係式。

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

改寫極限。

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

limit \lim_{\alpha \to 0}\frac{\sin(\alpha )}{\alpha } 為 1。

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

利用 \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} 在 0 上是連續的事實。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

將值 0 代入運算式 \sin(\alpha )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(\alpha )。

$$\cos(\alpha )$$

評估

$$\sin(\alpha )$$