解決{l}{x-y=4}{3x-y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left.\begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right\}$$

解 x、y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=4,3x-y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+4$$

在另一個方程式 3x-y=7 中以 y+4 代入 x在方程式。

$$3\left(y+4\right)-y=7$$

3 乘上 y+4。

$$3y+12-y=7$$

將 3y 加到 -y。

$$2y+12=7$$

從方程式兩邊減去 12。

$$2y=-5$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-\frac{5}{2}$$

在 x=y+4 中以 -\frac{5}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{2}+4$$

將 4 加到 -\frac{5}{2}。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=4,3x-y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{3}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=4,3x-y=7$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=4 減去 3x-y=7。

$$x-3x-y+y=4-7$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x-3x=4-7$$

將 x 加到 -3x。

$$-2x=4-7$$

將 4 加到 -7。

$$-2x=-3$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{3}{2}$$

在 3x-y=7 中以 \frac{3}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3\times \frac{3}{2}-y=7$$

3 乘上 \frac{3}{2}。

$$\frac{9}{2}-y=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$-y=\frac{5}{2}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$