解決{l}{4x-y=-14}{3x-y=-11} |Microsoft數學求解器

$$\left.\begin{array} { l } { 4 x - y = - 14 } \\ { 3 x - y = - 11 } \end{array} \right\}$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-y=-14$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$4x=y-14$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(y-14\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 y-14。

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}$$

在另一個方程式 3x-y=-11 中以 \frac{y}{4}-\frac{7}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}\right)-y=-11$$

3 乘上 \frac{y}{4}-\frac{7}{2}。

$$\frac{3}{4}y-\frac{21}{2}-y=-11$$

將 \frac{3y}{4} 加到 -y。

$$-\frac{1}{4}y-\frac{21}{2}=-11$$

將 \frac{21}{2} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

將兩邊同時乘上 -4。

$$y=2$$

在 x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

\frac{1}{4} 乘上 2。

$$x=\frac{1-7}{2}$$

將 -\frac{7}{2} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-11\right)\\3\left(-14\right)-4\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-y=-14 減去 3x-y=-11。

$$4x-3x-y+y=-14+11$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x-3x=-14+11$$

將 4x 加到 -3x。

$$x=-14+11$$

將 -14 加到 11。

$$x=-3$$

在 3x-y=-11 中以 -3 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3\left(-3\right)-y=-11$$

3 乘上 -3。

$$-9-y=-11$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$-y=-2$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=2$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=2$$