Solve {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

解 x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=4$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y+4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y+4。

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

在另一個方程式 x-3y=6 中以 \frac{-5y+4}{3} 代入 x在方程式。

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

將 -\frac{5y}{3} 加到 -3y。

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{3}。

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{14}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 -1。

$$x=\frac{5+4}{3}$$

將 \frac{4}{3} 與 \frac{5}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

化簡。

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+5y=4 減去 3x-9y=18。

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y+9y=4-18$$

將 5y 加到 9y。

$$14y=4-18$$

將 4 加到 -18。

$$14y=-14$$

將兩邊同時除以 14。

$$y=-1$$

在 x-3y=6 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-3\left(-1\right)=6$$

-3 乘上 -1。

$$x+3=6$$

從方程式兩邊減去 3。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-1$$