解決{l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29} |Microsoft數學求解器

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

解 x、y

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$10x+2y=-78$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$10x=-2y-78$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

\frac{1}{10} 乘上 -2y-78。

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

在另一個方程式 -3x-2y=-29 中以 \frac{-y-39}{5} 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

-3 乘上 \frac{-y-39}{5}。

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

將 \frac{3y}{5} 加到 -2y。

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

從方程式兩邊減去 \frac{117}{5}。

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{262}{7}$$

在 x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5} 中以 \frac{262}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 \frac{262}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

將 -\frac{39}{5} 與 -\frac{262}{35} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{107}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

讓 10x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 10。

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

化簡。

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -30x-6y=234 減去 -30x-20y=-290。

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

將 -30x 加到 30x。 -30x 和 30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6y+20y=234+290$$

將 -6y 加到 20y。

$$14y=234+290$$

將 234 加到 290。

$$14y=524$$

將兩邊同時除以 14。

$$y=\frac{262}{7}$$

在 -3x-2y=-29 中以 \frac{262}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

-2 乘上 \frac{262}{7}。

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

將 \frac{524}{7} 加到方程式的兩邊。

$$-3x=\frac{321}{7}$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{107}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$