解決{l}{-(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x} |Microsoft數學求解器

$$\left.\begin{array} { l } { - ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 若要尋找 x+2y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$-x-2y-x=-y$$

合併 -x 和 -x 以取得 -2x。

$$-2x-2y=-y$$

新增 y 至兩側。

$$-2x-2y+y=0$$

合併 -2y 和 y 以取得 -y。

$$-2x-y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$-3x-2y=-4-x$$

新增 x 至兩側。

$$-3x-2y+x=-4$$

合併 -3x 和 x 以取得 -2x。

$$-2x-2y=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x-y=0$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$-2x=y$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}y$$

在另一個方程式 -2x-2y=-4 中以 -\frac{y}{2} 代入 x在方程式。

$$-2\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=-4$$

-2 乘上 -\frac{y}{2}。

$$y-2y=-4$$

將 y 加到 -2y。

$$-y=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=4$$

在 x=-\frac{1}{2}y 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 4$$

-\frac{1}{2} 乘上 4。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=4$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 若要尋找 x+2y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$-x-2y-x=-y$$

合併 -x 和 -x 以取得 -2x。

$$-2x-2y=-y$$

新增 y 至兩側。

$$-2x-2y+y=0$$

合併 -2y 和 y 以取得 -y。

$$-2x-y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$-3x-2y=-4-x$$

新增 x 至兩側。

$$-3x-2y+x=-4$$

合併 -3x 和 x 以取得 -2x。

$$-2x-2y=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-4\right)\\-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=4$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 若要尋找 x+2y 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$-x-2y-x=-y$$

合併 -x 和 -x 以取得 -2x。

$$-2x-2y=-y$$

新增 y 至兩側。

$$-2x-2y+y=0$$

合併 -2y 和 y 以取得 -y。

$$-2x-y=0$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2y。

$$-3x-2y=-4-x$$

新增 x 至兩側。

$$-3x-2y+x=-4$$

合併 -3x 和 x 以取得 -2x。

$$-2x-2y=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-y=0 減去 -2x-2y=-4。

$$-2x+2x-y+2y=4$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y+2y=4$$

將 -y 加到 2y。

$$y=4$$

在 -2x-2y=-4 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-2\times 4=-4$$

-2 乘上 4。

$$-2x-8=-4$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$-2x=4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=4$$