Solve {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

解 x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 y 至兩側。

$$x+y=5$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=5,7x+3y=47$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+5$$

在另一個方程式 7x+3y=47 中以 -y+5 代入 x在方程式。

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

7 乘上 -y+5。

$$-7y+35+3y=47$$

將 -7y 加到 3y。

$$-4y+35=47$$

從方程式兩邊減去 35。

$$-4y=12$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=-3$$

在 x=-y+5 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-3\right)+5$$

-1 乘上 -3。

$$x=3+5$$

將 5 加到 3。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 y 至兩側。

$$x+y=5$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=5,7x+3y=47$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=8,y=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 y 至兩側。

$$x+y=5$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=5,7x+3y=47$$

讓 x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

化簡。

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x+7y=35 減去 7x+3y=47。

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7y-3y=35-47$$

將 7y 加到 -3y。

$$4y=35-47$$

將 35 加到 -47。

$$4y=-12$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-3$$

在 7x+3y=47 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

3 乘上 -3。

$$7x-9=47$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$7x=56$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=-3$$