解決{l}{x-2y=6}{x=10y-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ x - 2 y = 6 }\\{ x = 10 y - 2 }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=8$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10y。

$$x-10y=-2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-2y=6$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$x=2y+6$$

在另一個方程式 x-10y=-2 中以 6+2y 代入 x在方程式。

$$2y+6-10y=-2$$

將 2y 加到 -10y。

$$-8y+6=-2$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-8y=-8$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=1$$

在 x=2y+6 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2+6$$

將 6 加到 2。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10y。

$$x-10y=-2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-10-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-10-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-10-\left(-2\right)}&\frac{1}{-10-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 6-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{1}{8}\times 6-\frac{1}{8}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=8,y=1$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 10y。

$$x-10y=-2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-2y=6 減去 x-10y=-2。

$$x-x-2y+10y=6+2$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y+10y=6+2$$

將 -2y 加到 10y。

$$8y=6+2$$

將 6 加到 2。

$$8y=8$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=1$$

在 x-10y=-2 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-10=-2$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=1$$