解決{l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 1+y 時使用乘法分配律。

$$x+2y=3+3y+1$$

將 3 與 1 相加可以得到 4。

$$x+2y=4+3y$$

從兩邊減去 3y。

$$x+2y-3y=4$$

合併 2y 和 -3y 以取得 -y。

$$x-y=4$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 1-y 時使用乘法分配律。

$$8-y=2-2y+3x$$

新增 2y 至兩側。

$$8-y+2y=2+3x$$

合併 -y 和 2y 以取得 y。

$$8+y=2+3x$$

從兩邊減去 3x。

$$8+y-3x=2$$

從兩邊減去 8。

$$y-3x=2-8$$

從 2 減去 8 會得到 -6。

$$y-3x=-6$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+4$$

在另一個方程式 -3x+y=-6 中以 y+4 代入 x在方程式。

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

-3 乘上 y+4。

$$-3y-12+y=-6$$

將 -3y 加到 y。

$$-2y-12=-6$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$-2y=6$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-3$$

在 x=y+4 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3+4$$

將 4 加到 -3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 1+y 時使用乘法分配律。

$$x+2y=3+3y+1$$

將 3 與 1 相加可以得到 4。

$$x+2y=4+3y$$

從兩邊減去 3y。

$$x+2y-3y=4$$

合併 2y 和 -3y 以取得 -y。

$$x-y=4$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 1-y 時使用乘法分配律。

$$8-y=2-2y+3x$$

新增 2y 至兩側。

$$8-y+2y=2+3x$$

合併 -y 和 2y 以取得 y。

$$8+y=2+3x$$

從兩邊減去 3x。

$$8+y-3x=2$$

從兩邊減去 8。

$$y-3x=2-8$$

從 2 減去 8 會得到 -6。

$$y-3x=-6$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 1+y 時使用乘法分配律。

$$x+2y=3+3y+1$$

將 3 與 1 相加可以得到 4。

$$x+2y=4+3y$$

從兩邊減去 3y。

$$x+2y-3y=4$$

合併 2y 和 -3y 以取得 -y。

$$x-y=4$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 1-y 時使用乘法分配律。

$$8-y=2-2y+3x$$

新增 2y 至兩側。

$$8-y+2y=2+3x$$

合併 -y 和 2y 以取得 y。

$$8+y=2+3x$$

從兩邊減去 3x。

$$8+y-3x=2$$

從兩邊減去 8。

$$y-3x=2-8$$

從 2 減去 8 會得到 -6。

$$y-3x=-6$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

讓 x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

化簡。

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x+3y=-12 減去 -3x+y=-6。

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-y=-12+6$$

將 3y 加到 -y。

$$2y=-12+6$$

將 -12 加到 6。

$$2y=-6$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-3$$

在 -3x+y=-6 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x-3=-6$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$-3x=-3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-3$$