解決{l}{m+n=-3}{2n-3m=1} |Microsoft數學求解器

解 m、n

測驗

Simultaneous Equation

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m+n=-3,-3m+2n=1

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

m+n=-3

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

m=-n-3

從方程式兩邊減去 n。

-3\left(-n-3\right)+2n=1

在另一個方程式 -3m+2n=1 中以 -n-3 代入 m在方程式。

3n+9+2n=1

-3 乘上 -n-3。

5n+9=1

將 3n 加到 2n。

5n=-8

從方程式兩邊減去 9。

n=-\frac{8}{5}

將兩邊同時除以 5。

m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3

在 m=-n-3 中以 -\frac{8}{5} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

m=\frac{8}{5}-3

-1 乘上 -\frac{8}{5}。

m=-\frac{7}{5}

將 -3 加到 \frac{8}{5}。

m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}

現已成功解出系統。

m+n=-3,-3m+2n=1

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)

計算。

m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}

解出矩陣元素 m 和 n。

m+n=-3,-3m+2n=1

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1

讓 m 和 -3m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

-3m-3n=9,-3m+2n=1

化簡。

-3m+3m-3n-2n=9-1